¿La derivada es solo velocidad de cambio?

Question

En la escuela nos han dicho que derivado de la $x^2$ es $2x$.

También he leído que la derivada es simplemente una velocidad de cambio de valor.

Así que si

$$f(x)=x^2$$ luego, mediante una simple explicación, la derivada de esa función sería

$$f'(x)=f(x+1)-f(x).$$

Ahora bien, si tomamos derivado al $x=2$ lo vamos a conseguir

$$f'(2)=f(2+1)-f(2)=3^2-2^2=9-4=5.$$

Pero si vamos a tomar la regla de conversión (de la escuela), que dice que $[x^2]'$ es $2x$ luego

$$f'(x)=2x$$

y si vamos a poner el mismo punto aquí lo vamos a conseguir

$$f'(2)=2*2=4$$

así que el primer resultado que me da $5$ y el segundo resultado me da $4$. Y este problema parece ser que aparecen para cada número. Número calculado por el simplificada de la interpretación es siempre más grande por $1$.

Y mi única suposición es que la explicación simplificada falta algo. O, tal vez, he cometido un error en alguna parte.

Puede usted, por favor, ayúdame a entenderlo?

Actualización: Yo pase 2 días tratando de averiguar esto! Gracias a todos, chicos!!! Ahora lo tengo!))))

Answer 1

$f'(x)=f(x+1)-f(x)$

Este es, como se ha señalado por 5xum, no es cierto. Por favor, lea su respuesta a entender la definición de derivada, que establece:

$$f'(x) :=\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Vamos a tratar de calcular este límite para cualquier punto de la $x$

$$f'(x):=\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{2xh+h^2}{h} = \lim_{h\to 0} 2x+h = 2x$$

Tenga en cuenta que, para $h=1$, obtenemos, de hecho, su valor de $5$, pero los derivados sobre la configuración de $h \to 0$, no se conforman $h=1$

Para más intuición, trata de dibujar la parábola $y=x^2$, a continuación, dibuje la línea tangente a $x=2$ y también la línea recta uniendo $(2,4)$ e $(3,9)$. Ver la diferencia?

Mira cómo la línea roja tiene la pendiente que se predijo (5), y cruza la parábola en tanto $x=2$ e $x=3$ mientras que el azul (pendiente 4) línea sólo toca a $x=2$, pero se mantiene más cerca de la parábola si uno se aleja un poco. Esto ilustra que la verdadera pendiente de la curva es $4$ en lugar de $5$

Answer 2

luego, mediante una simple explicación, la derivada de esa función sería

$$f'(x)=f(x+1)-f(x).$$

En realidad, no. Lo que usted describe no sería la velocidad del cambio, sería simplemente el cambio. La velocidad del cambio tendría que ser "la cantidad de cambio que pasó" dividido por "cuánto tiempo el cambio tuvo lugar". Así, la velocidad de los cambios en un intervalo de longitud de $1$ sería $$\frac{f(x+1) - f(x)}{1},$$ but the speed of change on an interval of length $0.5$ would be $$\frac{f(x+0.5)-f(x)}{0.5}$$ and in general, the speed of change on an interval of length $h$ would be $$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

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Pero todas esas expresiones hablar de una velocidad por encima de un cierto intervalo. La derivada está interesado en la velocidad en un punto dado, y por lo tanto es calcula como

$$\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Answer 3

En la escuela nos han dicho que derivado de la $x^2$es $2x$.

También he leído que la derivada es simplemente una velocidad de cambio de valor.

Hay algo importante que falta en su definición. El correcto es:

Derivado es simplemente una instantánea de la velocidad (o tasa) de cambio de valor

A ver qué instantáneo significa que usted puede tomar $\Delta t$ a un intervalo de tiempo arbitrario y ver lo que sucede cuando $\Delta t$ se acerca a $0$.

Para cualquier número real $\Delta t$ de su valor de cambio entre el tiempo de la $t$ e $t+\Delta t$ es

$$ f(t+\Delta t)-f(t)=(t+\Delta t)^2-c^2=(t^2+2t\Delta t+(\Delta t)^2)-t^2=2t\Delta t+(\Delta t)^2 $$ Ahora para obtener la velocidad (o tasa) de cambio se debe dividir por el tiempo transcurrido entre la $t$ e $t+\Delta t$, que es $\Delta t$: $$ \text{tasa de cambio} = \frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t} = 2t + \Delta t $$ Finalmente, para obtener la derivada, debe encontrar la instantánea de la tasa de cambio, lo que significa que usted tiene que encontrar lo que sucede cuando $\Delta t$ se aproxima a cero:

A partir de la expresión anterior es claro que cuando se $\Delta t\rightarrow 0$ tiene $$ f'(t)=\text{instantánea de la tasa de cambio} = \text{tasa de cambio cuando }\Delta t \rightarrow 0 = 2t + 0 = 2t $$ cual es el resultado esperado.

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Sus principales errores fueron:

• para calcular la absoluta cambio de valor de $f(x+\Delta t)-f(x)$ y no la tasa de cambio $\frac{f(x+\Delta t)-f(x)}{\Delta t}$

• "ignorar" la instantánea forma parte de la definición, que utilizó $\Delta t = 1$, un valor finito en lugar de considerar lo que sucede para el caso límite $\Delta t \rightarrow 0$

Answer 4

Por sus propias palabras, la derivada es la velocidad (generalmente de "tasa") de cambio. Y recordar que una tasa es como mucho una cantidad de cambios cuando otro de los cambios. E. g. la velocidad de un coche es un ejemplo de una tasa, ya que representa la distancia cambia para cada cambio en el tiempo.

Así, $f(x+1)-f(x)$ sólo representa el "cambio" y no toma en cuenta cómo esto se relaciona con otra cantidad. En particular, queremos saber cuánto $f(x)$ cambios al $x$ cambios.

La derivada entonces debe ser algo similar a $$\frac{\text{change in }f(x)}{\text{change in }x}$$

Si elegimos dos puntos de $x_1$ e $x_2$, el cambio entre ellos es $x_2-x_1$. Del mismo modo, el cambio en el $f(x)$ es $f(x_2)-f(x_1)$. Esto nos da una un poco mejor expresión

$$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$$

Pero el último problema es que está indeciso sobre si es centrarse en $x_1$ o $x_2$. Por lo tanto la derivada es $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$ cuando $x_1$ e $x_2$ están "muy cerca".

Esto apunta a otro problema en su expresión: se enfoca en $x$ o $x+1$? Idealmente, la derivada en un punto sólo debe centrarse en un punto, así que en lugar de $x$ e $x+1$ queremos dos muy cerca de los puntos: $x$ e $x+\mathrm{d} x$, donde $\mathrm{d}x$ es vagamente una "cantidad muy pequeña". Esto es más rigurosamente se explica en Wikipedia: Derivado.

Answer 5

El derivado tiene diversas definiciones técnicas, pero la intuición de que usted necesita aquí es la de la velocidad instantánea - de modo que la derivada en $x=2$ va a estar cerca de él velocidad durante un corto intervalo que contenga $x=2$ (hay problemas técnicos con esta definición - aunque funciona para 'bonito' funciones).

Aproximadamente cuanto menor sea el intervalo de tomar, más cerca de la derivada de obtener. Esto se expresa técnicamente mediante la expresión de la derivada como un límite.

Un intervalo de longitud de $1$ de $x=2$ a $x=3$ puede ser parte de un proceso de límite, pero el valor de $5$ consigue no será preciso para la derivada en $x=2$. Es posible que desee ver lo que sucede si usted toma más pequeños intervalos.

El derivado que se busca es también la pendiente de la tangente a la curva de $y=x^2$ a $x=2$. Si se dibuja un diagrama que usted verá que esto es diferente de la pendiente de la cuerda de unirse a $(2,4)$ e $(3,9)$.

Edificio de sonido intuición alrededor de estas ideas con algunos cuidadoso trabajo te será útil más adelante. Cuando se encuentra con claras definiciones técnicas también podrá ver ejemplos de funciones que no son tan agradables y donde el cuidado tiene que ser tomado, y el encuentro de ideas que tropezó con algunos de los mejores matemáticos en las generaciones anteriores.