¿Cómo simplificar$\sec \frac{2\pi}{7}+\sec \frac{4\pi}{7}+\sec \frac{6\pi}{7}$?

Question

El problema es el siguiente:

Encontrar el valor de $\textrm{H}$ que pertenece a una cierta vibración que viene de un imán.

$$H=\sec \frac{2\pi}{7}+\sec \frac{4\pi}{7}+\sec \frac{6\pi}{7}$$

Era fácil distinguir a los que cada término estaba relacionado con múltiplos de dos y tres del primer ángulo. Así que reescribir la ecuación como esta:

$$H=\sec \frac{2\pi}{7}+\sec \frac{2\times 2\pi}{7}+\sec \frac{3\times 2\pi}{7}$$

Uno de los métodos que he probado era transformar los múltiplos de cada uno de los ángulos en sus equivalentes como una sola, como se muestra a continuación:

$$\cos^{2}\omega=\frac{1+\cos 2\omega}{2}$$

$$\cos 2\omega= 2 \cos^{2}\omega - 1$$

$$\cos^{3}\omega=\frac{1}{4}\left(3cos\omega+\cos 3\omega \right)$$

$$\cos 3\omega = 4 \cos^{3}\omega - 3 cos\omega$$

Por lo tanto, por el plugin de estas expresiones en la ecuación anterior se convertiría en (a condición de que la secante de la función se expresa en términos de la secante):

$$H=\frac{1}{\cos \frac{2\pi}{7}}+\frac{1}{2\cos^{2}\frac{2\pi}{7}-1}+\frac{1}{4\cos^{3}\frac{2\pi}{7}-3\cos\omega}$$

Pero a partir de aquí se ve complicado o demasiado algebraicas para continuar. Mi segundo supongo que se podría estar relacionado con suma a la identidad del producto, pero no pude encontrar uno para la secante.

Existe un acceso directo o será que me estoy perdiendo algo? Puede alguien ayudarme a encontrar la respuesta?

Puede que este problema sea resuelto sin necesidad de utilizar fórmulas de Euler?

Answer 1

Aquí es más accesible evaluación, basada únicamente en la familiarizado identidades trigonométricas y libre de cualquier complejo de variables.

Deje $\theta = \pi/7$ y expresar $H$ en términos de coseno funciones

$$H=\frac{1}{\cos2\theta} + \frac{1}{\cos4\theta} + \frac{1}{\cos6\theta}$$

o, en la forma de denominador común,

$$H=\frac{\cos4\theta \cos6\theta + \cos6\theta \cos2\theta + \cos2\theta \cos4\theta}{\cos2\theta \cos4\theta \cos6\theta}$$

Además, simplificar $H$ como

$$H =\frac{\cos2\theta + \cos4\theta + \cos6\theta}{\cos2\theta \cos4\theta \cos6\theta} \tag{1}$$

donde se aplica la identidad de $\cos(x+y)+\cos(x-y)=2\cos x\cos y$ a cada uno de los tres productos en el numerador y el reconocimiento de las relaciones $\cos 4\theta = \cos 10\theta$ e $\cos 6\theta = \cos 8\theta$.

Ahora, se calcula el numerador y el denominador por separado. La aplicación de la identidad $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ a el denominador tres veces, tenemos

$$ \cos2\theta \cos4\theta \cos6\theta = \frac{\sin 4\theta \cos 4\theta\cos 6\theta}{2\sin 2\theta} = \frac{\sin 8\theta \cos 8\theta }{4\sin 2\theta}= \frac{\sin 16\theta}{8\sin 2\theta} = \frac{1}{8} \tag{2} $$

Para calcular el numerador, que se escribe de forma equivalente como

$$ \frac{1}{\sin 2\theta} \left({\sin 2\theta\cos2\theta + \sin 2\theta\cos4\theta + \sin 2\theta\cos6\theta} \right)$$

Entonces, aplicando la identidad de $\sin(x+y)+\sin(x-y)=2\sin x\cos y$ a cada uno de los tres términos en el paréntesis, obtenemos

$$ \cos2\theta + \cos4\theta + \cos6\theta = \frac{\sin 4\theta + (\sin 6\theta - \sin 2\theta) + (\sin 8\theta - \sin 4\theta)}{2\sin 2\theta}$$

Después de algunos cancelación debido a idénticos términos y $\sin 6\theta = -\sin 8\theta$, el numerador es simplemente

$$\cos2\theta + \cos4\theta + \cos6\theta = -\frac{1}{2}\tag{3}$$

Por último, la inversión (2) y (3) en (1), llegamos a

$$H=-4$$

Answer 2

vamos $$ r = \cos \frac{2\pi}7+i\sin \frac{2\pi}7 $$ por lo $r$ es una primitiva de la séptima raíz de la unidad y de la $$ 2 \cos \frac{2\pi}7 = r + r^6 = a$$ $$ 2 \cos \frac{4\pi}7 = r^2 + r^5 = b$$ $$ 2 \cos \frac{6\pi}7 = r^3 + r^4 = c $$ y así si $$ H=\sec \frac{2\pi}{7}+\sec \frac{4\pi}{7}+\sec \frac{6\pi}{7} $$ entonces $$ \frac{H}2 = \frac1a +\frac1b + \frac1c = \frac{bc+ca+ab}{abc} $$ por la simple monotonía, el uso de $\sum_{k=0}^6 r^k = 0$ (la suma de las raíces de $x^7 = 1$) $$ bc+ca+ab = (r^2+r^5)(r^3+r^4) + (r^3+r^4)(r^1+r^6) + (r^1+r^6)(r^2+r^5) = -2 $$ y $$ abc = (r^1+r^6)(r^2+r^5)(r^3+r^4) = 1 $$ a partir de que $H= -4$

Answer 3

Si $z=e^{2\pi i/7}$, luego $$ \cos\frac{2n\pi}{7}=\frac{z^n+z^{-n}}{2}=\frac{z^{2n}+1}{2z^n} $$ por lo que su expresión se convierte en $$ \frac{2z}{z^2+1}+\frac{2z^2}{z^4+1}+\frac{2z^3}{z^6+1} $$ Tenemos el numerador $$ 2z(z^{10}+z^4+z^6+1+z^9+z^3+z^7+z+z^8+z^4+z^6+z^2) $$ Ahora podemos observar que a lo $z^7=1$ e $z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1=0$, por lo que la convierte en la expresión de $$ 4z(z^6+z^4+z^3+z^2+z+1)=-4z^6 $$ El denominador es \begin{align} (z^2+1)(z^{10}+z^6+z^4+1) &=z^{12}+z^8+z^6+z^2+z^{10}+z^6+z^4+1\\ &=z^5+z+z^6+z^2+z^3+z^6+z^4+1\\ &=z^6 \end{align}

Answer 4

El uso de múltiples ángulo de fórmulas, obtenemos $$ \begin{align} \cos(\theta)&=x\\ \cos(2\theta)&=2x^2-1\\ \cos(3\theta)&=4x^3-3x\\ \cos(4\theta)&=8x^4-8x^2+1 \end{align}\tag1 $$ Considere la posibilidad de $\cos(3\theta)=\cos(4\theta)$, lo que sucede cuando $3\theta+4\theta=2k\pi$ para algunos $k\in\mathbb{Z}$ (también sucede cuando se $3\theta-4\theta=2k\pi$, pero esos casos son un subconjunto). Por lo tanto, $$ x=\cos\left(\frac{2k\pi}7\right)\implies8x^4-4x^3-8x^2+3x+1=0\tag2 $$ Desde $k$ e $7-k$ dar los mismos valores de $\cos\left(\frac{2k\pi}7\right)$ e $k=0$ da $\cos\left(\frac{2k\pi}7\right)=1$, si dividimos $(2)$ por $x-1$, obtenemos el polinomio satisfecho por $x=\cos\left(\frac{2k\pi}7\right)$ para $k\in\{1,2,3\}$; es decir, $$ 8x^3+4x^2-4x-1=0\tag3 $$ El polinomio satisfecho por $x=\sec\left(\frac{2k\pi}7\right)$ para $k\in\{1,2,3\}$ es entonces $$ x^3+4x^2-4x-8=0\tag4 $$ Vieta fórmulas para luego dar que $$ \bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\sec\left(\frac{2\pi}7\right)+\sec\left(\frac{4\pi}7\right)+\sec\left(\frac{6\pi}7\right)=-4}\tag5 $$ Además, también dan que $$ \sec\left(\frac{2\pi}7\right)\sec\left(\frac{4\pi}7\right)\sec\left(\frac{6\pi}7\right)=8\tag6 $$