Deje $X$ ser un equipo compacto conectado espacio métrico, y deje $W_1=B(x,r)$ denotar el cerrado métrica bola centrada en $x\in X$ radio $r$. Podemos definir de forma recursiva $W_{k+1}=W_k \cup B(y,r)$, donde $y$ denotar un punto en el límite de $W_k$ e $B(y,r)$ no está contenido en $W_k$.
Es cierto que no siempre existe $n>0$ tal que $W_n=X$ para algunos $n$?
Si no, ¿hay algún requisito adicional de que puede hacer esto cierto?
Es cierto.
Vamos a explicar un poco más cómo, precisamente, el $W_k$ se definen de manera recursiva.
Por $U(x,r)$ denotamos el abierto métrica de la bola con el radio de $r$ centrado en $x$. Tenga en cuenta que si $\emptyset \ne W \subsetneqq X$ es cerrado, entonces el límite de $\text{bd} W = W \setminus \text{int} W \ne \emptyset$ (de lo contrario $W = \text{int} W$, es decir, $W$ estaría cerrado y abierto, contradiciendo el hecho de que $X$ está conectado).
En realidad construimos un aumento de la secuencia de cierre $W_k$ y una secuencia $y_k$ de los puntos tales que $B(y_k,r) \subset W_k$ e $y_{k+1} \in \text{bd} W_k$ si $W_k \ne X$.
Comience con cualquier $y_1$ y establezca $W_1 = B(y_1,r)$.
Suponga $W_1,\dots, W_k$ e $y_1,\dots,y_k$ han sido construidos.
Si $W_k = X$, a continuación, $W_{k+1} = W_k$ e $y_{k+1} = y_k$. Si $W_k \ne X$, elija cualquier $y_{k+1} \in \text{bd} W_k$ y establezca $W_{k+1} = W_k \cup B(y_{k+1},r)$. Tenga en cuenta que $B(y_{k+1},r)$ intersecta $X \setminus W_k$, es decir, obtenemos $W_k \subsetneqq W_{k+1}$.
La secuencia de $y_k$ tiene un punto de acumulación $y$. Por lo tanto nos encontramos con $m < n$ tal que $d(y_m,y), d(y_n,y) < r/2$. Por lo tanto $d(y_m,y_n) < r$ lo que implica que $y_n \in U(y_m,r) \subset B(y_m,r) \subset W_m \subset W_{n-1}$. Llegamos a la conclusión de $y_n \in \text{int} W_{n-1}$. Suponga que $W_{n-1} \ne X$. Luego, por la construcción de la $y_n \in \text{bd} W_{n-1} = W_{n-1} \setminus \text{int} W_{n-1}$ lo cual es una contradicción.
Editado:
Andreas Blass' comentario sugiere utilizar el siguiente hecho que es cierto para cualquier espacio métrico compacto $(X,d)$:
No existe una secuencia infinita de puntos de $y_k \in X$ tal que $y_{k+1} \notin \bigcup_{i=1}^k U(y_i,r)$ para todos los $k$, o en otras palabras que $d(y_l,y_k) \ge r$ para todos los pares de $l,k$ con $l > k$.
La anterior construcción es sólo un caso especial de esto. Tenga en cuenta que $W_k = \bigcup_{i=1}^k B(y_i,r)$ y, por tanto, $\text{int} W_k \supset\bigcup_{i=1}^k U(y_i,r)$. Mientras $\text{bd} W_k \ne \emptyset$, elegimos $y_{k+1} \in \text{bd} W_k$ lo que significa en particular que $y_{k+1} \notin \text{int} W_k$ y, por tanto, $y_{k+1} \notin \bigcup_{i=1}^k U(y_i,r)$. Llegamos a la conclusión de que algunos de los $\text{bd} W_k = \emptyset$ lo que significa que $W_k$ está cerrada a una abierta, por lo $W_k = X$ desde $X$ está conectado.
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