Deduje que $8z^2+1=(8x-1)(8y-1)$ Pero entonces no sé qué hacer.
Respuesta
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Stephan Aßmus
Puntos
16
el problema es la restricción de positividad. Cuando $x,y$ son positivos, tanto $8x-1$ y $8y-1$ son $7 \pmod 8.$ Como resultado, cada uno de ellos no es un producto de primos (positivos) $1,3 \pmod 8.$ Cada uno es divisible por al menos un primo (positivo) $q \equiv 5,7 \pmod 8.$ Sin embargo, cualquier $1 + 2 u^2,$ incluyendo su $1 + 8 z^2,$ sólo puede ser divisible por primos $p \equiv 1,3 \pmod 8.$
Supongo que debería especificar el lema de la forma cuadrática, parece que la gente no lo sabe: Lema . Si $v^2 + 2 u^2$ es divisible por algún primo (positivo) $q \equiv 5,7 \pmod 8,$ entonces ambos $u,v$ son divisibles por $q.$ En particular, $v \neq 1.$
aquí hay algunas soluciones con negativo $x,y$
x: -1 y: 0 z: 1
x: -5 y: -4 z: 13
x: -7 y: -1 z: 8
x: -7 y: -2 z: 11
x: -11 y: -1 z: 10
x: -17 y: -16 z: 47
x: -19 y: -5 z: 28
x: -25 y: -19 z: 62
x: -29 y: -4 z: 31
x: -31 y: -2 z: 23
x: -32 y: -1 z: 17
x: -37 y: -4 z: 35
x: -37 y: -7 z: 46
x: -40 y: -1 z: 19
x: -45 y: -31 z: 106
x: -49 y: -39 z: 124
x: -54 y: -19 z: 91
