¿Existe una topología de un conjunto de $X$ que es compacto y Hausdorff?

Question

Para cada conjunto $X$ y cada topología $\tau$ $X$ tenemos que $\tau$ contiene la topología trivial $\{ X, \emptyset\}$, que es compacto, y está contenida en la topología discreta $\{ S: S \subseteq X\}$, que es Hausdorff. Me preguntaba si hay alguna topología sobre X "entre" lo trivial y lo discreto que tiene ambas propiedades.

Parece que no es una topología de conjuntos específicos, tales como los números naturales, pero no he encontrado ningún resultado para la arbitraria $X$. No sé si alguna condición adicional debe ser establecido sobre la $X$ para que el resultado se mantenga, o si no es posible en general.

Me gustaría profundizar un poco de ayuda en esto.

Answer 1

Si $X$ es finito, entonces la topología discreta es Hausdorff compacto y está hecho.

Si $X$ es infinito, corregir algunos $x\in X$, y deje $X'=X\setminus\{x\}$ tiene la topología discreta que es localmente compacto topología, y tome $X$ a ser el único punto de compactification de $X'$. Que es $x$ es "el punto en $\infty$".

Entonces claramente $X$ es compacto, y a ver que es de Hausdorff, tome $u,v\in X$ a ser distinto. En la mayoría de los que uno de ellos es $x$ sí, si es el caso suponga $v=x$. Tomando $\{u\}$ $X\setminus\{u\}$ tenemos dos distintos bloques abiertos y hemos terminado.

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Otro, de hecho mucho más simple (pero usando el axioma de elección, mientras que la anterior no) ejemplo sería el siguiente:

Deje $\alpha$ ordinal tal que $|X|=|\alpha|$, $\alpha+1$ como un ordinal espacio es tanto Hausdorff y compacto. A ver que es Hausdorff tome $x<y\in\alpha+1$ $(0,x+1),(x,\alpha)$ como dos intervalos testimonio de que.

La compacidad de sucesor de los números ordinales se deduce del hecho de que, dada una cubierta abierta intervalos podemos índice de los extremos de estos intervalos, y forma una disminución de la secuencia de los números ordinales. Ya que cada disminución de la secuencia de los números ordinales es finito, podemos encontrar un número finito de subcover.

A partir de ahí, para el caso general de open ajusta el interruptor es simple, reemplazar cada conjunto abierto por todos los intervalos que la contiene; encontrar un número finito de subcover; reemplazar cada intervalo en el finito subcover por un determinado conjunto abierto que contiene.