Son las dos siguientes $10 \times 10$ matrices $$A = \left[ \begin {array}{cccccccccc} 0&1&0&0&1&0&0&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0&1&0&0&0&0\\ 1&0&0&1&0 &0&1&0&0&0\\ 1&0&0&0&0&0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&0&0&1&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0 &0&1&0&0&0\\ 0&0&0&0&1&0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&0&1&0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&0 &0&0&1&1&1\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&1&1\end {array} \right] $$
y
$$ B = \left[ \begin {array}{cccccccccc} 1&1&0&0&0&0&0&0&0&0 \\ 1&1&1&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&1&0&0&0 &1&5&1&5&5\\ 0&0&0&0&1&0&6&10&5&1 \\ 0&0&1&0&0&1&6&6&10&5\\ 0&0&0&1&0 &0&10&5&1&5\\ 0&0&0&0&0&0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&0 &0&1&0&0&1\\ 0&0&0&0&0&0&1&0&0&0\end {array} \right] $$ similar en la $\mathbb{Z}$?
Creo que la respuesta sea no, pero si la respuesta es sí, entonces estas matrices de formar un contraejemplo para algo (que se describen a continuación) he estado tratando de probar recientemente en mi proyecto de Doctorado. Permítanme darles un poco de contexto a mi pregunta por primera indica lo he probado y encontrado hasta ahora y, a continuación, dar un poco de motivación y de fondo después de eso.
Lo que he intentado: Ambas matrices tienen polinomio característico $${t}^{10}-2\,{t}^{9}-{t}^{8}-{t}^{7}+2\,{t}^{6}+6\,{t}^{5}-{t}^{3}-4\,{
t}^{2}-2\,t+1,$$ y que ambos tienen la misma Frobenius/Racional de la forma canónica, este será el compañero de la matriz de dicho polinomio:
$$ F = \left[ \begin {array}{cccccccccc} 0&0&0&0&0&0&0&0&0&-1
\\ 1&0&0&0&0&0&0&0&0&2\\ 0&1&0&0&0
&0&0&0&0&4\\ 0&0&1&0&0&0&0&0&0&1
\\ 0&0&0&1&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&1
&0&0&0&0&-6\\ 0&0&0&0&0&1&0&0&0&-2
\\ 0&0&0&0&0&0&1&0&0&1\\ 0&0&0&0&0
&0&0&1&0&1\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&1&2\end {array}
\right] $$
Así que sabemos que $A$ e $B$ son similar en la $\mathbb{Q}$ (ya que ambos son similares a $F$). En realidad he sido capaz de demostrar que $A$ es similar a $F$ también más de $\mathbb{Z}$. Esto se hizo mediante una "suerte" equipo de búsqueda: corrí por todo el tamaño de la $10$ vectores $\vec v$ con las entradas en $\{-1,0,1\}$ y comprueba si la matriz con columnas $\vec v$, $A \vec v$, $\ldots$, $A^9 \vec v$ había determinante $\pm 1$. Este fue el caso de un puñado de $\vec v$'s, por lo que estas matrices testigo de la integral de similitud de $A$ e $F$. La misma búsqueda de $B$ no dió ningún resultado positivo, aunque. Me gustaría intentar una búsqueda en un conjunto más grande de los vectores, pero esto requeriría más poder de cómputo que me tiene en la actualidad (estar en casa para las vacaciones de verano). Si las matrices no son similares, este método, por supuesto, nunca dar la respuesta, aunque...
A partir de lo anterior, podemos, sin embargo, tienen la siguiente pregunta equivalente: Son las matrices de $B$ e $F$ por encima similar en la $\mathbb{Z}$?
Otra idea: Otra idea que he tenido es el de considerar las matrices $A$ e $B$ (o $F$ e $B$) como matrices sobre el campo finito $\mathbb{F}_p$ para las diferentes opciones de la prime $p$. Como esto puede ser decidido mediante la Frobenius forma o la forma normal de Smith. Si hay un $p$ para que las matrices no son similares en más de $\mathbb{F}_p$, entonces no es similar en la $\mathbb{Z}$ bien. Por lo que habría de asentarse. Sin embargo, si por alguna gran $p$, $A$ e $B$ son similar en la $\mathbb{F}_p$, espero que la matriz de transformación testigos de esta similitud también se podría trabajar más de $\mathbb{Z}$, debido a que el $p$ es tan grande. Esto es sólo una especulación, aunque. Mi problema es que no estoy seguro de que el software que puede utilizar para realizar estas campo finito cálculos de forma eficaz. Cualquier comentario sobre esto es muy apreciado!
Motivación: Esta parte va a ser un poco breve/críptico, con el fin de mantenerlo corto, así que por favor déjame saber si debo dar más detalles sobre algo.
Esta pregunta ha salido de mis recientes intentos de demostrar que el cambio de equivalencia implica el flujo de equivalencia de (ciertos) no negativo integral de las matrices y sus correspondientes cambios de finito tipo. Los sistemas dinámicos se llama turnos de finito tipo, que están asociados a un entero no negativo de la matriz, se describen en la presentación del libro "Una Introducción a la Dinámica Simbólica y Codificación" por Douglas Lind y Brian Marcus. Cambio de equivalencia de matrices y el flujo de la equivalencia de los cambios de finito tipo también se explican en el libro (a partir de las páginas 233 y 453).
Para el entero no negativo matrices que son irreductibles (lo que significa que para cada una de las $i,j$ $A^n(i,j) > 0$ para algunos $n$), se sabe que el cambio de equivalencia implica el flujo de equivalencia. Esto es debido a que en la irreductible caso, hay una completa algebraicas invariantes en términos de la definición de la matriz en la cual se determina el flujo de equivalencia. Y no es difícil ver que el cambio de equivalencia sobre $\mathbb{Z}$ (que es más débil que el mero cambio de equivalencia) conserva el invariante.
Para reducible matrices, sin embargo, el invariante es mucho más complicado. Así que en este caso es un problema si cambio de equivalencia (más de $\mathbb{Z}$) implica el flujo de equivalencia. No está claro en absoluto si cambio de equivalencia conserva el invariante. Hay un artículo reciente en otro campo que se refiere a esto, potencialmente, ser verdadero, por eso es que he pasado algún tiempo tratando de probarlo. Después de no poder demostrar que comencé la búsqueda de contraejemplos en su lugar. Hay contraejemplos si uno permite que las matrices a tener "cíclico de los componentes", lo que significa que una componente irreducible es esencialmente un permutaton de la matriz, pero esto hace que los cambios de finito tipo un poco "degenerado" en algún sentido, por lo que quiero evitar eso.
La forma de cambio de equivalencia sobre $\mathbb{Z}$ conecta con la similitud más de $\mathbb{Z}$ es que esto es de hecho equivalente, para matrices con determinante $\pm 1$ (es decir, aquellos que son invertible más de $\mathbb{Z}$). Este es el caso de $A$ e $B$. Las matrices $A$ e $B$ están construidas a no ser de flujo equivalente. Ambos tienen una similar estructura de bloque, que es un producto de la construcción (edit: ver los comentarios de la estructura de bloque), pero he decidido no entrar en eso.
Edit: para que quede claro, lo que "hay que esperar" es que las matrices son similares. Para que se conformaría con mi pregunta de investigación. Si resultan no ser similares (o si no lo sabemos), entonces lo que me gustaría es la de tratar de construir algunas otras matrices que podría ser similar (aunque todavía no está flujo equivalente), basado en los comentarios de aquí, o para tratar de encontrar alguna "razón fundamental" ¿por qué ellos nunca pueden ser similares. Para que me puede ayudar a demostrar que el cambio de equivalencia implica el flujo de equivalencia.
