¿Por qué las revoluciones (o vueltas) no tienen dimensiones?

Question

Creo que la razón es que una revolución o una vuelta es igual a $2 \pi$ rad o a $360$ grados.

Podemos relacionar los rads y los grados con dos unidades de longitud que se anulan entre sí.

rad $= \frac{arc\: length}{radius\: of\: the \:arc\: length}$

grado $=$ longitud del arco $ * \frac {1}{360}$ de la circunferencia total.

En ambos casos los metros del numerador se anulan con los metros del denominador. Esto implica que los rads y los grados son adimensionales, pero no son unitarios.

¿Existe otra explicación de por qué una revolución es adimensional?

¿Existe una explicación análoga, que los metros con metros se anulen entre sí, para las revoluciones?

¿O sólo puede explicarlo equiparando las revoluciones con los grados o los radianes?

Por otra parte, el libro Physics for scientists and engineers de Tipler explica así lo que es una dimensión.

Puedo medir el número de revoluciones (por ejemplo con una fotocélula) de un plato giratorio. Así que tengo un número con unidades (revoluciones o rads). ¿No tenemos una dimensión en este caso, el ángulo?

Answer 1

¿Existe otra explicación de por qué una revolución es adimensional?

Al final el radián es adimensional porque el BIPM (la organización que define el SI) decidió que fuera adimensional.

Esta es la definición oficial del SI, actualizada a principios de este año: https://www.bipm.org/utils/common/pdf/si-brochure/SI-Brochure-9.pdf

En la página 136 define que cada una de las unidades base tiene su propia dimensión única, y especifica que todas las unidades derivadas tienen dimensiones correspondientes a las unidades base utilizadas para derivar la unidad derivada. A continuación, en la página 137, define el radián como una unidad derivada de m/m, lo que implica que el radián no tiene dimensión.

La dimensionalidad de una unidad es tanto una cuestión de convención como su tamaño. Por ejemplo, en el SI el amperio es una unidad fundamental con dimensión de corriente, $I$ lo que significa que la carga tiene dimensiones de $IT$ . En cambio, en unidades cgs el statcoulomb tiene dimensiones de $L^{3/2}M^{1/2}T^{-1}$ .

Por lo tanto, aunque el radián está definido por el BIPM como adimensional, no habría nada lógicamente incorrecto en una unidad de ángulo que no fuera el SI y que se considerara con dimensiones. Es una cuestión de convención. Sin embargo, hay que tener en cuenta que si se cambian las unidades, es posible que también haya que cambiar algunas de las fórmulas físicas.

Usted ha preguntado específicamente por las "vueltas" o "revoluciones" en lugar de los radianes. Que yo sepa, no hay ningún organismo que defina un sistema de unidades en el que la unidad de ángulo sea un giro o una revolución. Por lo tanto, la dimensionalidad depende totalmente de usted. Si quieres puedes considerar que un giro tiene dimensión, y si quieres puedes considerar que no tiene dimensión. No hay nada que prohíba física o matemáticamente ninguna de las dos convenciones.