Demuestre que si$x$ es impar, entonces$x^2$ es impar

Question

Probar que si $x$ es impar, entonces $x^2$ es impar

Supongamos $x$ es impar. Dividiendo $x^2$ por 2, obtenemos: $$\frac{x^2}{2} = x \cdot \frac{x}{2}$$ $\frac{x}{2}$ puede ser reescrita como $\frac{x}{2} = a + 0.5$ donde $a \in \mathbb Z$. Ahora, $x\cdot\frac{x}{2}$ puede ser reescrita como:

$$x\cdot\frac{x}{2} = x(a+0.5) = xa + \frac{x}{2}$$

$xa \in \mathbb Z$ e $\frac{x}{2} \notin \mathbb Z$, por lo tanto $xa + \frac{x}{2}$ no es un número entero. Y desde $xa + \frac{x}{2} = \frac{x^2}{2}$, se deduce que el $x^2$ no es divisible por dos, y por lo tanto $x^2$ es impar.

Es correcto?

Answer 1

Deje que $x = 2k + 1 \in \mathbb{Z}$ sea impar. Entonces, $$ x^{2} = (2k + 1)^2 = 4k^{2} + 4k + 1 = 2(2k^{2} + 2k) + 1$$ Let $ t = 2k ^ {2} + 2k \ in \ mathbb {Z}$, thus: $ x ^ {2} = 2t + 1 $ .

Answer 2

Su prueba escrita es correcta. Para su INFORMACIÓN, he aquí otra prueba de la técnica que, aunque es mucho más de lo que usted necesita en su caso, como proyecto de Ley del comentario indica, es un poco más corta y, tal vez, de alguna utilidad para usted, como para otros más complicados problemas relacionados.

Desde $x$ es impar, esto significa que no tiene factores de $2$. Por el teorema Fundamental de la aritmética, $x^2$ tiene los mismos factores primos como $x$, justo el doble de cada uno de ellos y, por tanto, ningún factor de $2$. Como tal, es también impar.

Answer 3

Sí, $ $ su prueba es correcta. $ $ Tienes $\ a = \color{#c00}{(x\!-\!1)/2}\in\Bbb Z\ $, así que eliminando $\,a\,$ la prueba se convierte

$$ \begin{align} &\dfrac{x^2}2 - \dfrac{x}2\, =\, \dfrac{x(\color{#c00}{x\!-\!1})}{\color{#c00}2}\in \Bbb Z\\[.2em] \Rightarrow\ \ \ &\dfrac{x^2}2\in\Bbb Z\iff \dfrac{x}2\in\Bbb Z\\[.2em] \Rightarrow\ \ \ & \ \ \ \ 2\nmid {x^2}\iff\ \ 2\nmid x\\[.2em] {\rm i.e.}\ \ \ & \ x^2\ {\rm odd}\ \iff x\ \ {\rm odd} \end {align} \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad $$

Answer 4

La prueba es correcta.

También puede probar por la contrapositivo:

si $x^2$ es incluso, a continuación, $2|x^2=x\cdot x,$ por Euclides del lexema $2|x,$ lo $x$ es incluso.

Si no te gusta eso, se podría decir $x$ es impar, y el producto de dos números impares es impar,

por lo $x^2=x\cdot x$ es impar.

Si no te gusta que se podría argumentar de la siguiente manera:

si $x$ es impar, entonces $x-1=2k$ e $x+1=2k+2$ con $k \in\Bbb Z$,

por lo $x^2=(x-1)(x+1)+1=(2k)(2k+2)+1=2(k(2k+2))+1$ es impar.