sangaku - un rompecabezas geométrico

Question

Encuentra el radio de los círculos si el tamaño del cuadrado mayor es 1x1.
Que lo disfrutes.

(leer sobre el origen de sangaku )

Answer 1

Aquí hay un enfoque más agradable ...

Dados dos segmentos que parten de un punto y terminan en puntos de tangencia con una circunferencia, sabemos que esos segmentos son congruentes. En la figura, los tres vértices del triángulo rectángulo dan lugar a tres longitudes fundamentales; obsérvese que, como el ángulo "verde" es un ángulo recto, las longitudes de los segmentos tangentes son iguales al radio de la circunferencia.

Pitágoras nos dice que

$$(b+r)^2 + ( r + a )^2 = ( a + b )^2 $$

Pero también tenemos que $a+b=1$ (el lado del cuadrado), y que $b=a+2r$ (mediante círculos tangentes en el "exterior" del triángulo rectángulo). A partir de estas relaciones, encontramos que $a=1/2-r$ y $b=1/2+r$ .

Por lo tanto,

$$(1/2+2r)^2 + ( 1/2 )^2 = ( 1 )^2$$ $$1/4+2r+4r^2+1/4=1$$ $$8r^2+4r-1=0$$

Las raíces son $(-1\pm\sqrt{3})/4$ y seleccionamos el valor positivo: $r = (-1+\sqrt{3})/4$ .

Como señaló Américo: Los lados del triángulo tienen longitudes $r+a=1/2$ , $3r+a=\sqrt{3}/2$ y $1$ por lo que tenemos un triángulo 30-60-90.

(Me gusta que esta vez sólo haya un valor extraño, en lugar de los tres de mi primer intento. ¿Existe un enfoque mejor que dé la respuesta directamente, con no ¿valores extraños?

Editar. Lo hay. Inmediatamente después de haber deducido que $a=1/2-r$ sabemos que el cateto corto del triángulo tiene una longitud $1/2$ para que su pierna más larga sea $\sqrt{3}/2$ . Como esa pierna más larga también es $a+3r=1/2+2r$ tenemos que $r=(-1+\sqrt{3})/4$ .)

Answer 2

Aquí está mi intento de un enfoque puramente geométrico:

                    

Dispón un conjunto de círculos de igual tamaño como en la imagen 2, y coloca los círculos superior e inferior de forma que sus centros formen un lado de un cuadrado. A partir de la cuádruple simetría, se ve que el círculo más a la izquierda está en el centro del cuadrado, y como la altitud al triángulo equilátero es tangente a cada uno de los dos círculos y es perpendicular al lado del triángulo en la imagen 3, se deduce que los círculos de la izquierda y de la derecha, y los dos círculos centrales justo por encima de éstos, coinciden con los del diagrama original en la imagen 1 (y por supuesto las imágenes han sido alineadas para convencerte de esto también). Por lo tanto, sólo queda medir $r$ ; en la imagen 4 observamos que el lado del triángulo, que tiene longitud $1$ también es la longitud $(2+2\sqrt3)r$ (el $\sqrt3$ Las medidas provienen de que se trata de un triángulo equilátero); de ahí obtenemos

$$r=\frac1{2(1+\sqrt3)}=\frac{\sqrt3-1}4.$$

Answer 3

Dejemos que $r$ sea la longitud el radio de los círculos, y sea $\theta$ sea la medida del ángulo (más pequeño) formado en la esquina del cuadrado grande.

La anchura del cuadrado es igual a dos radios y la proyección de un diámetro doble (un radio cuádruple), por lo que

$(1)\hspace{1.0in}4r\cos\theta=1-2r$

Observando los cuatro triángulos rectángulos, vemos que el diámetro del círculo central es igual a la diferencia de las longitudes de los catetos; como la hipotenusa tiene longitud $1$ tenemos

$(2)\hspace{1.0in}2r = \cos\theta - \sin\theta$

A partir de aquí, simplemente tenemos que eliminar $\theta$ .

Multiplicando (2) por $4r$ y sustituyendo en (1) ...

$$8 r^2 = 4r\cos\theta - 4r \sin\theta = 1 - 2r - 4r \sin\theta$$ $$4r \sin\theta = 1 - 2r - 8 r^2$$

Por lo tanto,

$$\begin{eqnarray}16r^2 &=& (4r \cos\theta)^2 + (4 r \sin\theta)^2 \\\ &=& ( 1 - 2r )^2 + ( 1 - 2r - 8 r^2 )^2 \\\ &=& 2 - 8 r - 8 r^2 + 32r^3 + 64 r^4 \end{eqnarray}$$

para que

$$0 = 32 r^4 + 16 r^3 - 12 r^2 - 4 r + 1 = (2r+1)(2r-1)(8 r^2 + 4 r - 1)$$

Las raíces del polinomio son $\pm1/2$ y $(-1\pm\sqrt{3})/4$ . Podemos eliminar tres de ellos para concluir que $r = (-1+\sqrt{3})/4$ .

Answer 4

Algo relacionado con la solución de Don: De la figura, vemos que los cuatro triángulos son 1: congruentes, y 2: triángulos rectos. La hipotenusa de un triángulo tiene longitud 1, y si dejamos que $\theta$ sea el menor de los dos ángulos del triángulo rectángulo, y utilice $r$ para denotar el radio de un círculo, entonces la relación pitagórica es

$$\cos^2\;\theta+(\cos\;\theta-2r)^2=1$$

Esto se puede resolver ahora como una ecuación simultánea con cualquiera de las otras dos ecuaciones que Don obtuvo, o podemos utilizar otra ecuación, la expresión para la inradio $r$ :

$$r^2=\frac{(s-1)(s-\cos\;\theta)(s+2r-\cos\;\theta)}{s}$$

donde $s=\frac{1+\cos\;\theta+(\cos\;\theta-2r)}{2}$ es el semiperímetro.

Si eliminamos $\cos\;\theta$ y resolver las dos ecuaciones aquí para $r$ encontramos que las raíces de la ecuación cuártica resultante son

$$r=\frac{\pm 1\pm\sqrt{3}}{4}$$

Si llevamos a cabo el enfoque de Don también, encontramos que sólo una positivo valor de $r$ es consistente con ambos sistemas, y por lo tanto tiene que ser la respuesta correcta:

$$r=\frac{-1+\sqrt{3}}{4}$$

Answer 5

¡Grandioso Sangaku! Aquí hay una solución rápida y fácil:

Dejemos que $r$ sea el radio de los círculos, y que $L$ sea la longitud del lado del cuadrado, y que $a$ y $b$ sean las longitudes de los lados restantes de los triángulos donde $a > b$ .

Entonces podemos ver que $$ a = b + 2r $$ El radio de la circunferencia interior de un triángulo rectángulo es $$ \frac{a + b - L}{2} = r $$

A partir de estas dos ecuaciones, obtenemos fácilmente $b = \frac{L}{2}$ .

El teorema de Pitágoras en $a, b = \frac{L}{2},$ y $L$ da

$$ a^{2} + (\frac{L}{2})^{2} = L^{2} $$

significa $a = \frac{\sqrt{3}}{2}L$ . Introduciendo nuestros valores de a y b en la ecuación superior se obtiene

$$ r = \frac{\sqrt{3} - 1}{4}L $$