Teorema espectral/intercambio de límite de serie y operador

Question

Actualmente estoy aprendiendo mecánica cuántica y hay un escenario típico que encuentro en mis libros de física:

Supongamos que $\mathcal{H}$ es un espacio de Hilbert y $A: \operatorname{Dom}(A)\to \mathcal{H}$ es un operador (lineal), $Dom(A)\subseteq\mathcal{H}$ . Además, dejemos que $\mathcal{B}:=\{v_n: n \in\mathbb{N}\}$ sea un conjunto de vectores propios de $A$ : $A(v_n)=\lambda_nv_n$ .

Si hay un $v \in \operatorname{Dom}(A)$ y una secuencia de coeficientes $(c_n)_{n \in\mathbb{N}}$ con $v=\sum\limits_{n=1}^{\infty}c_nv_n$ Los autores escriben $A(v)=A(\sum\limits_{n=1}^{\infty}c_nv_n)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}c_nA(v_n)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(c_n\lambda_n)v_n$ .

Por lo que sé, A es no continua en general, pero esto es un caso especial del teorema espectral. Creo que un físico escribiría $A=\sum\limits_{n=1}^{\infty}|v_n\rangle\langle v_n|$ y llamar a esto el teorema espectral para el caso discreto . El problema es que al buscar en un libro de matemáticas sobre el teorema espectral, veo muchas integrales y la cosa se complica mucho. Así que estaría bien si alguien pudiera explicar este caso especial del teorema espectral (sus requisitos y enunciados), o sugerir una buena fuente.

Answer 1

El operador $A$ no es típicamente continuo, pero como es autoadjunto, es cerrado (véase más abajo). Una de las conclusiones del teorema espectral es que $v\in \mathrm{Dom}(A)$ es equivalente a la convergencia de la serie de números no negativos $$ \sum_n \lambda_n^2\lvert c_n\rvert^2. $$ Esto implica que la secuencia $ S_N:= \sum_{n=1}^N \lambda_n c_n v_n $ es convergente, porque $$\lVert S_M-S_N\rVert=\left\lVert \sum_{n=N}^M \lambda_n c_n v_n\right\rVert=\sqrt{\sum_{n=N}^M \lvert c_n\rvert^2\lambda_n^2} ,$$ así que $S_N$ satisface la condición de Cauchy.

La fórmula $$\tag{1} A\sum_n c_n v_n= \sum_n \lambda_n c_n v_n$$ se demuestra ahora utilizando el hecho de que $A$ es cerrado $^{[1]}$ . De hecho, $A(\sum_1^N c_n v_n)=\sum_{1}^N \lambda_n c_n v_n$ y acabamos de ver que el lado derecho converge. Como $\sum_n \lvert c_n\rvert^2<\infty$ por el razonamiento anterior vemos que $\sum_1^N c_n v_n$ converge, por lo que por la propiedad de cerrazón podemos pasar al límite y demostrar (1).

Nota: . Aquí suponemos que $A$ tiene un espectro discreto. Esto significa que cada valor espectral es un valor propio y que existe una base ortonormal de $\mathcal{H}$ hecha de vectores propios. Si no es así, la serie $\sum_n$ tienen que ser sustituidos por integrales. Por eso los libros de matemáticas explican el teorema espectral en términos de integrales espectrales. Sin embargo, la idea básica ya está totalmente contenida en el caso del espectro discreto.

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$[1]$ . Esto significa que si $f_n\in \mathrm{Dom}(A)$ es tal que $f_n\to f$ y $Af_n \to g$ entonces $f\in \mathrm{Dom}(A)$ y $g=Af$ .