¿Por qué la coordenada radial de una partícula debe disminuir continuamente una vez que está dentro del radio de Schwarzschild?

Question

Supongamos que estamos dentro del radio de Schwarzschild de un agujero negro y lanzar una pelota radialmente hacia afuera. Se dice que la bola no tiene la posibilidad de aumentar su coordenada radial. Debe continuamente la disminución de su radiales coordinar y llegar finalmente al centro.

No entiendo por qué esto es así. La métrica dentro del radio de Schwarzschild para radial de movimiento es:

$$ds^2=-c^2(2r_s/r-1)dt^2+(2r_s/r-1)^{-1}dr^2$$

Entiendo que la bola debe seguir timelike mundo de línea, es decir, debemos tener $ds^2>0$, en cualquier forma que la bola se mueva. Y para que esto suceda es necesario que $dr\ne0$. Pero la métrica no aparece para poner cualquier restricción sobre si $dr$ será positivo o negativo, porque $dr$ aparece como un cuadrado plazo.

Entonces, ¿por qué la pelota no se puede mover con un resultado positivo de $dr$, yo.e, radialmente hacia afuera?

Answer 1

Usted es muy correcto que la métrica solo no puede decirnos de qué manera se mueve la pelota. Eso es porque la métrica que describe tanto el agujero negro y el agujero blanco. Pero, ¿qué podemos trabajar a partir de la métrica es que una vez en el interior del horizonte de sucesos de la velocidad de la $dr/dt$ nunca puede cambiar de signo. Esto significa que si usted cruza el horizonte se dirigió hacia adentro de un agujero negro, es decir, con un valor negativo de $dr/dt$, el de la velocidad radial nunca puede aumentar a cero y se convierten en positivas, por lo que usted puede nunca la cabeza hacia afuera de nuevo. El mismo argumento se aplica a blanco agujeros. En este caso, un balón dentro del horizonte y se dirigió hacia el exterior nunca puede llegar a un alto y caen hacia el interior de nuevo.

Para mostrar este rigurosamente está involucrado, pero si va a perdonar un poco de brazo agitando podemos hacer una razonable no rigurosas argumento. La métrica de una trayectoria radial $(d\theta = d\phi = 0)$ es:

$$ c^2d\tau^2 = c^2\left(1 - \frac{r_s}{r}\right)dt^2 - \frac{dr^2}{1 - r_s/r} $$

Para la dirección de la velocidad de cambio que requiere que el objeto sea momentáneamente inmóvil, es decir, $dr=0$, pero esto nos da:

$$ c^2d\tau^2 = c^2\left(1 - \frac{r_s}{r}\right)dt^2 $$

El problema es que una vez dentro del horizonte de $1 - r_s/r$ es negativo y esto nos dará un valor negativo para $d\tau^2$. Dado que esto es imposible que la conclusión es que $dr$ nunca puede ser cero, es decir, la bola no se puede cambiar la dirección de la velocidad radial.

Answer 2

Estás en lo correcto de que, aunque la métrica puede decir si es o no una determinada línea es timelike, no puede en su propio determinar cual es el futuro que apunta a la dirección y que el pasado, que apunta a la dirección. Esto se determina por otras consideraciones, tales como las condiciones iniciales. Podemos decir que es el futuro apunta a la dirección dentro del horizonte de continuidad desde fuera del horizonte. Una vez que se determina para una worldline, entonces también es determinado para adyacentes worldlines y, por tanto, de todo el espacio-tiempo, bajo condiciones ordinarias. Sin embargo, no sé si, desde un punto de vista matemático, puede haber excepciones en casos especiales, tales como el espacio-tiempo configuraciones con el cierre de la timelike líneas o desnudo singularidades, pero existe una buena razón para creer que los que no se producen en el mundo físico.

Answer 3

La métrica es, de hecho, $$ds^2=-c^2(r_s/r-1)dt^2+(r_s/r-1)^{-1}dr^2$$ O escribir en términos de tiempo apropiado $$d \tau^2 = -(r_s/r-1)dt^2+(r_s/r-1)^{-1}dr^2$$

Cuando $r<r_s$, entonces a partir de la $d\tau > 0$ para un objeto con la masa y $dt^2 \geq 0$ entonces $dr$ no igual a cero.

Esto significa que $dr/dt$ no puede cambiar de signo una vez $r<r_s$. Así, una vez en movimiento en un agujero negro ($dr <0$), entonces la coordenada radial no puede aumentar.

Answer 4

Para ilustrar los puntos de las respuestas anteriores, usted puede pensar acerca de la plana minkowskian métrica y sólo de forma equivalente a preguntar por qué un objeto no puede moverse hacia atrás en el tiempo, debido a que el elemento de la línea de $ds^2$ sólo depende de $dt$ cuadrado! la respuesta es que las ecuaciones del movimiento en sí, son simétricas en el tiempo, y la dirección a la que llamamos "futuro" o "pasado" en el tiempo depende de otras consideraciones, tales como la dirección en la que aumenta la entropía.

de manera similar, se puede dibujar una timelike curva con un extremo en el interior del horizonte de sucesos y el otro extremo fuera de ella. Pero para ser coherentes con nuestra definición habitual de tiempo de la dirección, tenemos que concluir que describe un objeto que cae en el agujero negro, porque sólo se puede cruzar el horizonte de sucesos de ir hacia adentro y no viceversa.

(lo que no puede hacer es dibujar un timelike curva en la que $r$ tanto los aumentos y disminuciones en el interior del horizonte de sucesos. que no sería timelike)