Sobre qué campos (además de $\mathbb{R}$ ) ¿toda matriz simétrica es potencialmente diagonalizable?

Question

Sobre qué campos (además del conocido $\mathbb{R}$ ) ¿toda matriz simétrica es potencialmente diagonalizable? Una matriz es potencialmente diagonalizable en un campo $F$ si es diagonalizable en el cierre algebraico de $F$ .

Me parece que los campos $\mathbb{F}_2$ y $\mathbb{C}$ no tienen esta propiedad. ¿Qué pasa con otros campos finitos?

Answer 1

Esto es cierto si $F$ es formalmente real, es decir $-1$ no es una suma de cuadrados en $F$ . Por un lado, si $F$ es formalmente real, entonces extendiendo $F$ podemos suponer que es real-cerrado, y entonces el mismo argumento que para $\mathbb{R}$ se aplica a las matrices sobre $F$ (o para usar un mazo, el resultado para $F$ se deduce del resultado para $\mathbb{R}$ ya que todos los campos reales cerrados son elementalmente equivalentes).

Otra posibilidad es un argumento más directo: si $F$ es formalmente real, entonces ningún elemento de $F^n$ es ortogonal a sí mismo con respecto al producto punto, por lo que para cualquier subespacio $V\subseteq F^n$ el complemento ortogonal $V^\perp$ con respecto al producto punto es un complemento lineal de $V$ . Si un $n\times n$ matriz $A$ es simétrico, entonces si un subespacio $V$ es invariable bajo $A$ entonces también lo es $V^\perp$ . Esto significa que la acción de $A$ en $F^n$ es semisimple, o, lo que es lo mismo, que el polinomio mínimo de $A$ en $F$ es libre de cuadrados. Como $F$ tiene la característica $0$ este polinomio mínimo seguirá siendo libre de cuadrados sobre el cierre algebraico de $F$ , lo que significa que $A$ sigue siendo semisimple sobre el cierre algebraico y, por tanto, es potencialmente diagonalizable.

Por el contrario, supongamos que $F$ no es formalmente real; digamos que $a_1^2+\dots+a_n^2=-1$ en $F$ . Sea $u=(a_1,\dots,a_n,1)\in F^{n+1}$ y considerar el mapa lineal $A:F^{n+1}\to F^{n+1}$ dado por $A(v)=\langle v,u\rangle u$ , donde $\langle\cdot,\cdot\rangle$ es el producto punto. Entonces $A$ es simétrica: para cualquier $v,w\in F^{n+1}$ , $$\langle Av,w\rangle = \langle \langle v,u\rangle u,w\rangle=\langle v,u\rangle \langle u,w\rangle=\langle v,\langle w,u\rangle u\rangle=\langle v,Aw\rangle.$$ Sin embargo, tenga en cuenta que $\langle u,u\rangle=0$ así que $A(u)=0$ y por lo tanto $A^2=0$ ya que la imagen de $A$ está atravesado por $u$ . Desde $A\neq 0$ y $A^2=0$ , $A$ no es potencialmente diagonalizable.

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De forma más general, argumentos similares demuestran que si $V$ es un espacio vectorial de dimensión finita con una forma bilineal simétrica no degenerada $\langle \cdot,\cdot\rangle$ entonces todo endomorfismo autoadjunto de $V$ es semisimple si no hay ningún $v\in V$ tal que $\langle v,v\rangle=0$ . (Si el campo base es perfecto, entonces semisimple es equivalente a potencialmente diagonalizable, pero en general es más débil).