Ejemplos de conjuntos que no son obviamente conjuntos

Question

En mi experiencia (limitada), suele ser fácil ver cuándo algo es lo suficientemente grande como para ser una clase propia, construyendo un elemento de la clase para cada conjunto.

Sin embargo, a veces esa clase propia tiene mucha información redundante, por lo que la consideramos módulo de alguna relación de equivalencia. De este modo, en algunos casos, terminamos con algo lo suficientemente pequeño como para ser (representado por) un conjunto real ¡!

Ejemplo motivador: El grupo Witt $W(F)$

(en realidad, no nos importa la estructura del grupo, lo siento)

Dejemos que $F$ sea un campo. Sea $$ W(F) := \{(V, q)\ \text{quadratic}\ F\!-\!\text{vector spaces}\}/\sim $$ Dónde $(V, q)\sim (W, r)$ si existen espacios metabólicos (es decir, hiperbólicos más degenerados) $E_1, E_2$ tal que $(V, q)\perp E_1 \simeq (W, r)\perp E_2$ , donde $(V, q)\perp (W,r) = (V\oplus W, (v,w)\mapsto q(v)+r(w))$ .

Entonces $W(F)$ es un conjunto tiene un conjunto de representantes.

Cuando me enteré de esto, no era nada evidente para mí.

(Para ser sincero, sólo lo recuerdo vagamente y no estoy muy seguro de los detalles técnicos. Sin embargo, lo esencial era que, en primer lugar, sólo consideramos espacios vectoriales de dimensión finita, que sólo permiten un número finito de formas cuadráticas no equivalentes, e incluso después de eso, la mayoría de ellas pueden verse como equivalentes a un espacio cuadrático de dimensión inferior añadiendo elementos para que una gran parte parezca hiperbólica)

Pregunta

Así que, con un espíritu similar al de esta pregunta :

¿Cuáles son otros ejemplos no evidentes de conjuntos, por ejemplo, clases propias que son "cocientes" de un conjunto?

Answer 1

Considere los espacios topológicos compactos metrizables, modulo homeomorfismo en realidad hay conjunto muchos espacios de este tipo.

Una forma de demostrarlo es mostrar que para todo espacio compacto metrizable $X$ hay una incrustación $X\to [0,1]^\Bbb N$ por lo que hay como máximo $|\mathcal P([0,1]^\Bbb N)|=2^{|[0,1]^\Bbb N|}=2^\mathfrak c$ estos espacios.

Answer 2

Basándome en los comentarios (en particular, cuando digo "las clases de isomorfismo de ... forman un conjunto", lo que realmente quiero decir es "hay un conjunto tal que cualquier ... es isomorfo a un elemento de este conjunto"; o podría argumentar que lo que digo tiene sentido usando el truco de Scott : todo esto debería ser equivalente de todos modos), aquí hay algunos ejemplos :

1- Dado un cardenal $\kappa$ , una lengua de primer orden $L$ y una teoría $T$ en $L$ las clases de isomorfismo de los modelos de $T$ forman un conjunto. Un caso especial interesante es cuando se toma $L$ para consistir enteramente en símbolos de función y $T$ una lista de ecuaciones universalmente cuantificadas; entonces, saber que se trata de un conjunto ayuda realmente en una de las pruebas habituales del teorema de la variedad de Birkhoff.

Es importante tener en cuenta que me limité a un lenguaje de primer orden, pero en realidad no hay necesidad de símbolos en $L$ sea finito, siempre y cuando $L$ es un conjunto (y por tanto sus símbolos tienen limitado (posiblemente infinita) aridad), esto funciona y la prueba es la misma.

2- Si incluyes "segundo contable" en la definición de colector (no sé hasta qué punto está consensuado, mis profesores lo hacían así), entonces las clases de difeomorfismo de los colectores forman un conjunto. Esto puede ser interesante saberlo en algunas consideraciones en las que tenemos funtores definidos sobre $\mathrm{Diff}$ y, por tanto, para tratar con categorías de funtores, es interesante saber que esta categoría es esencialmente pequeña (por ejemplo, para ver que los prestacks sobre $\mathrm{Dif}$ realmente forman una categoría, o categorías de cobordismo)

3- Dado un cardenal $\kappa$ clases de homeomorfismo de espacios compactos de Hausdorff de cardinalidad $\leq \kappa$ forman un conjunto. Esto se debe a que la topología de un espacio compacto de Hausdorff está completamente determinada por la $\lim$ función $\beta X\to X$ ( $\beta X$ es el conjunto de ultrafiltros en $X$ ). No sé hasta qué punto es útil, pero lo utilicé (más bien una variación trivial del mismo) en un proyecto de licenciatura para demostrar la existencia de un flujo mínimo universal de un grupo topológico.

4- (parte de ) 1- y 3- se generalizan limpiamente a las categorías monádicas : siempre que una categoría de objetos sea equivalente a $\mathbf{Set}^T$ la categoría Eilenberg-Moore de $T$ -para una determinada mónada $T$ , entonces para cualquier cardinal $\kappa$ existe un conjunto de clases de isomorfismo de objetos de esta categoría de cardinalidad $\leq \kappa$ . En el 1-, $T$ es la mónada asociada a una teoría algebraica, en 4- $T$ es la mónada del ultrafiltro.

Se puede modificar ligeramente 4 (o 1) para obtener que las clases de isomorfismo de "cosas finitamente generadas" suelen formar un conjunto : $R$ -para cualquier anillo $R$ por ejemplo.

5- Las clases de homeomorfismo de los espacios métricos separables (de hecho, las clases de isometría de los espacios métricos separables) forman un conjunto. De hecho, con el truco del ultrafiltro anterior, dado un cardinal $\kappa$ clases de homeomorfismo de los espacios de Hausdorff que tienen un subconjunto denso de tamaño $\leq \kappa$ forman un conjunto.

6- Como ha señalado Randall en los comentarios, dada una categoría de modelo $C$ y objetos $X,Y\in C$ no está nada claro que $\hom_{\mathbf{Ho}(C)}(X,Y)$ debería ser un conjunto. De hecho, si no tomamos una categoría modelo sino sólo una categoría con equivalencias débiles y localizamos, en general éstas no forman conjuntos. Pero en una categoría modelo, los reemplazos fibrantes y cofibrantes y varios lemas aseguran que $\hom_{\mathbf{Ho}(C)}(X,Y)$ es (isomorfo a) un cociente de un hom-set en $C$ y, por tanto, es esencialmente un conjunto.

7- Un ejemplo que no es "clases de isomorfismo de", que también es un poco raro, pero que tiene algunas implicaciones interesantes (filosóficas) : la clase de todos los conjuntos $x$ tal que $\neg\mathrm{(Fermat's\, last\, theorem)}$ es un conjunto (¡sólo conocido desde los años 90!)