¿$3/8$ (37.5%) de las cuadráticas no tienen$x$ - Intercepciones?

Question

Yo al azar tenía una idea acerca de qué proporción de la cuadráticas que no tienen real $x$-intercepta. Inicialmente pensé que el 33%, debido a que 0,1,2 intercepta, entonces pensé que la proporción de 1 intercepta es infinitesimal. Así que pensé entonces en un 50%, como gráficamente la mitad de la cuadráticas estarían por encima de la $x$-eje, y la otra mitad por debajo.

Si la pones en una lista de (max,min) y (arriba,abajo): Mínimo + Arriba = no $x$-intercepta

Mínimo + Abajo = 2 $x$-intercepta

Máximo + Arriba = 2 $x$-intercepta

Máximo + Abajo = no $x$-intercepta.

Por lo tanto el 50% de la derecha?

Bueno, yo simulado mediante código. Yo aleatorios a, b y c, y la salida de la discriminante. Si es menor que 0, agregar 1 a una variable. Hace unos 100000 veces. Ahora dividir la variable por 100000. Puedo conseguir cifras como $(37.5\pm0.2)$%.

Yo la hipótesis de que el promedio es $3/8$.

Por qué?

Puede ser una falacia, mi enfoque de la búsqueda de la 'proporción'. Fundamentalmente, es la probabilidad de obtener una ecuación cuadrática con el no $x$-intercepta. Sin embargo, no estoy seguro.

EDIT: El rango fue de $(-n,n)$, donde $n$ fue 100000, o incluso superior.

Answer 1

El problema no es que no hay manera de elegir una al azar cuadrática. El problema es que hay muchas maneras, y no hay ninguna razón obvia para pensar en ninguna de ellas como "la" forma de elegir uno.

Para empezar, incluso elegir un "aleatorio" es algo que se puede hacer de muchas maneras:

• uniformemente a partir de cierto intervalo, decir $(-1,1)$o $(0, 1)$o $(2,17)$,
• a partir de una distribución normal con cualquier media o la varianza,
• a partir de una distribución exponencial con cualquier medio,
• a partir de una distribución de Cauchy,
• de alguna extraña distribución arbitraria de hacer usted mismo

(Tenga en cuenta que "un número de manera uniforme elegido al azar entre todos los números reales" es que no es posible, simplemente porque la integral de la función de densidad de más de todos los números reales (es decir, el total de probabilidad) debe ser $1$, y ninguna función constante hace que.)

Ahora, con esto en mente, aquí están algunas maneras que usted podría escoger una al azar cuadrática:

• la elección de cada una de las $a$, $b$ e $c$ al azar por cualquiera de los métodos anteriores (o alguna combinación de ellos) y la construcción de $ax^2 + bx + c$,
• la elección de $(a, b)$ como el punto fijo y un factor de escala $c$ (de nuevo, por alguno o varios de los métodos descritos anteriormente) y la escritura $c(x - a)^2 + b$,
• la elección de $f(0)$, $f(1)$, $f(2)$ al azar y utilizando el único cuadrática que pasa por los tres (por supuesto, usted puede reemplazar $0$, $1$, $2$ con otras tres números reales),
• la elección de $f(0)$, $f'(0)$, e $f''(0)$ al azar, y escoger el cuadrática que tiene los valores (que es sin duda muy similar a la del primer método, pero no del todo),
• ... Podría seguir.

Todos estos son plausibles interpretaciones de "aleatorio cuadrática", dependiendo de donde la aleatoriedad está viniendo. Todos ellos (en general) producen diferentes respuestas a preguntas como estas.

(Y tenga en cuenta que por las mismas razones que antes, usted no puede tener ninguna manera de escoger al azar cuadráticas que es la "traducción-invariantes" en el sentido de que $f(x)$ e $f(x - a)$ son igualmente probables, o $f(x)$ e $f(x) + b$ son igualmente probables.)

Ahora usted puede pedir su particular manera de escoger una al azar cuadrática, ¿por qué la probabilidad de no tener intersecciones en x es lo que se encuentra fuera a ser. Yo creo que otro de esta pregunta con las respuestas de los puntos en la dirección correcta para que.

Answer 2

Es útil pensar de cada polinomio cuadrático como correspondiente a un punto en el "coeficiente de reparto space", un resumen del contenido 3D en el espacio cuyas coordenadas son $(a,b,c)$. La pregunta "¿Qué fracción de polinomios cuadráticos no tienen $x$-interceptar?" entonces puede ser reformulado como "¿Qué fracción de coeficiente de espacio, se encuentra en la región de $b^2 < 4 a c$?"

El problema es, por supuesto, que este "coeficiente de reparto space" tiene un volumen infinito: $a$, $b$o $c$ puede ser arbitrariamente grande. Lo que es más, la región de coeficiente espacio correspondiente a los polinomios sin intercepciones es también infinitamente grande: para cualquier polinomio sin un $x$-intersección, usted puede multiplicar por cualquier número real y obtener otro polinomio sin un $x$-intercepción. Y si las matemáticas nos ha enseñado algo, es que si tratamos de dividir ∞ por ∞ no podemos esperar un resultado significativo.

Usted puede, sin embargo, en lugar de los límites en los valores de $a$, $b$, e $c$, por lo que estos volúmenes de "coeficiente de reparto space" son finitos. En el código, le molestaban las cantidades $(a, b, c)$ con probabilidad uniforme en el rango de $(-10^5, 10^5)$. Esto corresponde a la región de coeficiente de espacio de abajo:

Mathematica (que he utilizado para hacer esta parcela), me dice que la fracción de este cubo que se llena es $$ \frac{31 - 6 \ln 2}{72} = 0.3727932905... \neq \frac{3}{8}. $$ Por lo que el ratio se encuentra "experimentalmente" en realidad, no es igual a 3/8, pero está bastante cerca.

Por otro lado, usted podría tener también decidió recoger todas sus coeficientes tales que $a^2 + b^2 + c^2 < (10^5)^2$. Esto correspondería a permitir $a$, $b$, e $c$ a mentir en algún esférica de la región de "coeficiente de reparto space". Las esferas son agradables, ¿verdad? Todo el mundo le gusta esferas.

La fracción de esta región fuera de los permitidos esférica de volumen en el coeficiente de reparto space es (de nuevo, confiando en Mathematica) está a sólo unos 0.3514..., notablemente inferior a 3/8. La región de los coeficientes que permiten, y cómo parametrizar ellos, resulta que para hacer una diferencia en lo que su respuesta final es (que es lo que algunas de las otras respuestas están tratando de señalar.)

Answer 3

Hay infinitamente muchos cuadráticas, por lo que el número que se obtiene al final todo depende de cómo se "muestra" de que el conjunto de todas las posibles curvas. Por ejemplo, si la muestra $a\in[1,2]$, e $c\in[-2, -1]$, entonces todas las curvas tienen un verdadero interceptar. Por otro lado, si $a,c\in [1,2]$ e $b\in[-1,1]$, entonces ninguna de las curvas tendrá un verdadero interceptar.

Editar:

Ahora que has dicho eso de $a,b,c$ todos están distribuidos de manera uniforme en $[-n, n]$, el problema se traduce a esto:

• Cada una selección de $(a,b,c)$ es un punto en el cubo de la $C=(-n, n)\times(-n, n)\times(-n,n)$.
• Cada selección es igualmente probable.
• Por lo tanto, usted realmente está preguntando sobre el volumen del conjunto $\{(a,b,c)\in\mathbb C| b^2-4ac \geq 0\}$. Una vez que el volumen, la ración de volumen el volumen de $C$ es lo que usted necesita.

Answer 4

Suponga $a$,$b$,$c$ son independientes y uniforme en $(-n,n)$. Indicar la probabilidad de que la cuadrática no tiene $x$-interceptar por $p = P[b^2 < 4ac]$. Desde $b^2 < 4ac$ sólo puede ser cierto cuando se $ac > 0$, lo que sucede en $4$ de la $8$ signo posible de las tareas a $a,b,c$, y de lo contrario, la condición es simétrica con respecto a los signos, tenemos \begin{align} p &= \frac{1}{2} P[b^2 < 4ac \mid a,b,c > 0] \\ &= \frac{1}{2} P[(b/n)^2 < 4(a/n)(c/n) \mid a,b,c > 0] \\ &= \frac{1}{2} P[y^2 < 4xz] \end{align} donde $x,y,z$ son independientes y uniforme en $(0,1)$. En particular, $p$ no depende de $n$. El último de probabilidad está dada por la integral $$ \int_0^1 \int_0^1 \int_0^{\min\{2\sqrt{xz},1\}} 1 \; dy \; dz \; dx = \frac{31}{36} - \frac{\ln 2}{6} \approx 0.745587 $$ (Wolfram Alpha). Por lo tanto $$ p = \frac{31}{72} - \frac{\ln 2}{12} \approx 0.372793, $$ muy cerca de la conjetura $0.375$.

Answer 5

Mientras que otras respuestas han señalado el problema de la definición de un azar cuadrática, voy a argumentar que hay, de hecho, bastante interesante medidas en el cuadráticas.

Deje $ax^2+bx+c=0$ ser la ecuación de una parábola. Il tenemos que multiplicar todos los coeficientes por una constante, tenemos por ejemplo,

$$10ax^2+10bx+10c=0,$$

que es otra ecuación de la misma curva. Por lo tanto, en lugar de tomar para $(a,b,c)$ general de los números reales, podemos normalizar, por ejemplo mediante la adición de la restricción $a^2+b^2+c^2 = 1$. A continuación, $(a,b,c)$ mentira en una esfera, en la cual hay una natural probabilidad de medida: el uniforme de la medida. La forma más sencilla de simular esta opción es tomar por $a$, $b$ e $c$ tres norma independiente Gaussianas; a continuación, $(a,b,c)/ \|a^2+b^2+c^2\|$ es uniforme en la unidad de la esfera.

Tenga en cuenta que (como por Leftaroundabout del comentario) esta es sólo una posible normalización, y por lo tanto una posible medida en cuadráticas, llamado Kac del azar polinomio. Hay otras medidas razonables. Sin embargo, este en particular da lugar a interesantes y no demasiado difíciles piezas de matemáticas.

De todos modos, cualquiera que sea la normalización de elegir, esto pone de relieve una característica de este problema que no es muy visible en Michael Seifert respuesta: el cuadráticas no tener $x$intercepto son exactamente aquellos cuyos coeficientes de satisfacer $b^2-4ac<0$, que es, en el espacio de parámetros, la ecuación de un relleno en forma de cono (intentar trazar en Mathematica y a moverse el objeto). El punto de vista de encima interpreta que "la proporción de quadrics no tener $x$-interceptar" como "la proporción de las direcciones en el espacio de parámetros correspondientes a quadrics no tener $x$-interceptar", o, equivalentemente, "la proporción de cuadráticas con $a^2+b^2+c^2 \leq 1$ no tener $x$-interceptar".

Bajo esta configuración, y si no me equivoco, un rápido cálculo me da que la probabilidad de no tener $x$-intersect es:

$$1-\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}} \frac{\sqrt{t^4+4t^2+1}}{t^4+t^2+1} \ dt \simeq 0,351.$$

Referencia : ¿cuántos ceros de un azar del polinomio son reales?, A. Edelman y E. Kostlan, Boletín de la AMS, Vol. 32, n.1, enero de 1995. Disponible en arXiv: https://arxiv.org/pdf/math/9501224.pdf

La fórmula anterior es debido a Kac (1943). Voy a dejar que alguien trate de encontrar una forma cerrada, ya que hay poeple aquí mucho mejor que yo en la identificación y computación integrales.