Considerar estas definiciones:
Una función de $f:X \to Y$ es continua en a $x\in X$ fib para cualquier vecindario $V_{f(x)}$ $f(x)$ hay un abrir vecindario $U_{x}$ $x$ que obtiene asignada por $f$ a $V_{f(x)}$ (o, en otras palabras, hay un abrir vecindario $U_{x}$ $x$ tal que $f[U_x]\subseteq V_{f(x)}$). Una función de $f:X \to Y$ es continua si es continua en todos los $x \in X$.
Esta definición de continuidad me parece equivalente a la "norma" de la definición en términos de la inversa de imágenes (es decir, $f:X\to Y\;$ es continua si para cualquier conjunto abierto $V\subseteq Y$, la $f^{-1}(V)\subseteq X$ es abierto).
Estoy equivocado?
Suponiendo que estoy en lo cierto, estoy desconcertado por la prevalencia de la actualidad de definición estándar, ya que la anterior me parece mucho más natural. Sin duda, es más, obviamente, una generalización de la $\epsilon$-$\delta$ definición de continuidad en espacios métricos (sólo reemplace $V_{f(x)}$ $U_{x}$ por la apertura de bolas $B(f(x), \epsilon)$$B(x, \delta)$, respectivamente), lo que, a su vez, es evidente que la generalización de los $\epsilon$-$\delta$ definición de continuidad para funciones de $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ (basta con sustituir el abierto de bolas $B(f(x), \epsilon)$ $B(x, \delta)$ por la apertura de los intervalos de $(f(x) - \epsilon, f(x) + \epsilon)$$(x-\delta, x+\delta)$, respectivamente).
Teniendo en cuenta estas consideraciones, ¿por qué es la definición estándar generalmente preferido?
Edit: las respuestas que he recibido hasta el momento se han centrado en el hecho de que la definición alternativa depende de un auxiliar de la definición de continuidad en un punto, pero esta es una muy menor aspecto de la definición alternativa. Elegí este enfoque sólo para hacer que el texto de la definición de continuidad en un poco menos torpe, pero no es necesario. Yo podría haber escrito bien:
Una función de $f:X \to Y$ es continua iff para todos los $x \in X$ y abiertos vecinales $V_{f(x)}$ $f(x)$ hay un abrir vecindario $U_{x}$ $x$ tal que $f[U_{x}]\subseteq V_{f(x)}$.
Además, estas respuestas sugieren que, cuando se trata de la definición de los términos, de la brevedad de triunfos claridad. Me parece difícil de tomar: una definición, por definición, es la introducción de un concepto, por lo que su público objetivo es el que se aprecia la claridad sobre la brevedad. Un equivalente de la caracterización de un mismo concepto cuya única ventaja es mayor brevedad debe ser relegado a un teorema, de la OMI.
