Para cualquier $n\in\mathbb{N}$ , $\mathbb{Q}^n$ es contable.

Question

Me gustaría saber si esto es una aplicación válida del Principio de Enumeración. Gracias de antemano.

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Afirmación: Para cualquier número natural $n$ , $\mathbb{Q}^n$ es contable.

Prueba de ello. Sea $n\in\mathbb{N}$ . Considere el conjunto $\mathcal{L} = \left\{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, -, /, * \right\}$ . Para cualquier $x = (x_1, \ldots, x_n)\in\mathbb{Q}^n$ Cada uno de ellos $x_i$ pueden ser etiquetados por elementos de $\mathcal{L}$ y por lo tanto cada $x$ pueden ser etiquetados por elementos de $\mathcal{L}$ . Por ejemplo, podemos etiquetar $(\frac{1}{2}, -30, 4)$ por la secuencia $(1, /, 2, *, -, 3, 0, *, 4)$ donde el asterisco se utiliza para separar los componentes. Por lo tanto, $\mathbb{Q}^n$ puede ser etiquetado por un conjunto contable. Por el Principio de Enumeración, $\mathbb{Q}^n$ es contable.

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Para quien esté interesado:

• Un conjunto $A$ puede ser etiquetado por un conjunto $B$ si hay una inyección de $A$ al conjunto de secuencias finitas de elementos de $B$ . Es decir, cada elemento de $A$ se le puede asignar una única secuencia finita de elementos de $B$ .
• El principio de enumeración: Cualquier conjunto que pueda ser etiquetado por un conjunto contable es contable.

Answer 1

Tu prueba es correcta, pero hay una aplicación más directa del principio de enumeración, suponiendo que ya sabes que $\Bbb Q$ es contable: basta con etiquetar cada elemento $x = (x_1, \ldots, x_n)\in\mathbb{Q}^n$ ¡por sí mismo! Esta es una inyección de $\Bbb Q^n$ al conjunto de secuencias finitas de elementos de $\Bbb Q$ ya que $\Bbb Q$ es contable, el principio de enumeración demuestra que $\Bbb Q^n$ es contable.

Esta observación es una ilustración de una estrategia importante para hacer matemáticas: siempre que sea posible, utilice hechos que ya han sido establecidos y añada una pequeña cantidad de razonamiento para deducir el siguiente hecho; esto será mejor que volver a los primeros principios para cada argumento. En este caso, la codificación de los números racionales mediante cadenas finitas ya entraba en la prueba de que $\Bbb Q$ es contable, y es bueno observar que no tenemos que hacer ese paso de codificación de nuevo aquí.