Anisotropía de la longitud de correlación en el modelo Ising 2D

Question

En el modelo de Ising, la función de correlación de dos espines es $$ C(\vec{r}) = \langle \sigma_{\vec{r}_0+\vec{r}}\sigma_{\vec{r}_0}\rangle - \langle \sigma_{\vec{r}_0+\vec{r}}\rangle \langle \sigma_{\vec{r}_0} \rangle. $$ Esta cantidad no depende de $\vec{r}_0$ debido a la invariabilidad traslacional. Cuando $r = |\vec{r}|$ es grande en comparación con el espacio de la red, esperamos la siguiente forma aproximada $$ C(\vec{r}) \sim \exp(-r/\xi), $$ donde $\xi$ es la longitud de la correlación.

Las diferentes direcciones de la red no son equivalentes. Por ejemplo, en el modelo Ising en la red cuadrada, hay dos direcciones, digamos vertical y horizontal, a lo largo de las cuales interactúan los espines vecinos. No veo razones para pensar que otras direcciones sean equivalentes a estas dos. En el modelo de Ising anisotrópico, las direcciones vertical y horizontal tampoco son equivalentes.

Entonces la longitud de correlación $\xi$ debería depender de la dirección de $\vec{r}$ . ¿Se conoce la forma analítica de esta dependencia al menos para la red cuadrada? El modelo de Ising es probablemente el modelo más estudiado de la física estadística, pero no he podido encontrar las fórmulas correspondientes. Así que cualquier referencia sería apreciada.

P.D. Sé que en el límite de escala el modelo de Ising se vuelve isotrópico. La pregunta anterior es para sistemas suficientemente alejados del punto crítico.

Answer 1

La longitud de correlación del modelo Ising 2d se ha calculado explícitamente. Puede encontrar la expresión en el famoso libro de McCoy y Wu . Aquí hay un gráfico de la longitud de correlación inversa (es decir, $1/\xi$ ) a varias temperaturas, tomadas de este reciente documento de revisión :

Esto es sólo para mostrar la dependencia direccional, ya que la escala radial no es la misma para todas las imágenes. La temperatura disminuye de izquierda a derecha (se puede ver la isotropía que aparece cerca de la temperatura crítica) desde cerca de $\infty$ hasta acercarse a la temperatura crítica. Por debajo de la temperatura crítica, el comportamiento es exactamente el mismo, ya que la autodualidad del modelo implica que, para cualquier $T<T_c$ , $\xi(T) = \xi(T^*)/2$ donde la temperatura dual $T^*=T^*(T)$ satisface $T^*>T_c$ .

Answer 2

Podrías estudiar este problema cerca del punto fijo (las dos imágenes de la derecha en la respuesta de Yvan) buscando el operador más relevante con la carga de simetría adecuada.

Por ejemplo, para una red rectangular buscaríamos operadores de espín 2, una red triangular de espín 3 y una red cuadrada de espín 4.

Dado que estas deformaciones de espín superior en el modelo de Ising provienen de operadores descendientes, se espera un orden de $(T-T_c)$ separación en las anisotropías entre cada caso.

Sin embargo, no sé cómo explicar otras características interesantes, como por qué la longitud de correlación tiene una cúspide a bajas temperaturas. ¡Esto es genial!