Deje que el conjunto subyacente de la teoría de ser ZFC. Deje $x_1 \subseteq x_2 \subseteq \dots$ e $y_1 \subseteq y_2 \subseteq \dots$ ser ascendente secuencias de conjuntos tales que, para cada $n \in \{1,2,\dots\}$, $|x_n| = |y_n|$. Es el caso de que $\big|\cup_{n =1}^{\infty}x_n\big| = \big|\cup_{n =1}^{\infty}y_n\big|$? Si esto no es cierto en general, es posible caracterizar a todos aquellos-o al menos algunos interesantes casos en los que esto no tiene? Hay una terminología estándar para estos casos? Este puede ser generalizado a transfinito secuencias? ¿La respuesta de cambiar si queremos exigir que las secuencias de ser estrictamente creciente, es decir, por cada $n \in \{1,2,\dots\}$, $x_n \subsetneq x_{n+1}$ e $y_n \subsetneq y_{n+1}$?
Respuesta
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Sí, esto es cierto siempre. Si $x_1\subseteq x_2\subseteq\dots$ e $x=\bigcup x_n$, a continuación, $|x|=\sup_n|x_n|$, y, en particular, $|x|$ está determinada únicamente por la secuencia de cardinalidades $|x_n|$. Claramente $|x|\geq|x_n|$ para todos los $n$ lo $|x|\geq\sup_n |x_n|$. Por el contrario, $|x_n|\leq \sup|x_n|$ para todos los $n$ lo $|x|\leq \aleph_0\cdot \sup|x_n|=\sup|x_n|$ mientras $\sup |x_n|$ es infinita (y si es finito, entonces el resultado es trivial).
Tenga en cuenta que si usted considerar la posibilidad de aumentar las secuencias con la posibilidad de innumerables conjuntos de índices, a continuación, esto no es cierto. Por ejemplo, con el conjunto de índices $\omega_1$, si dejas $x_\alpha=\omega+\alpha$ e $y_\alpha=\omega$ para todos los $\alpha<\omega_1$, a continuación, $|x_\alpha|=|y_\alpha|=\aleph_0$ por cada $\alpha$ pero $\left|\bigcup x_\alpha\right|=\aleph_1$ mientras $\left|\bigcup y_\alpha\right|=\aleph_0$. Si usted requiere de secuencias de ser estrictamente creciente, entonces es cierto, aunque: dejar a $\kappa$ ser el cofinality del conjunto de índices, el argumento anterior muestra que el $|x|\geq\sup|x_i|$ e $|x|\leq \kappa\cdot\sup|x_i|=\max(\kappa,\sup|x_i|)$ , pero también se $|x|\geq\kappa$ si $x_i$ son estrictamente creciente (ya que mirando un cofinal bien ordenada larga da, al menos, un nuevo elemento de $x$ para cada término de la larga), por lo $|x|=\max(\kappa,\sup|x_i|)$.
