8 votos

Un ejercicio del libro de Apostol.

Estoy tratando de resolver el siguiente problema de Apostol del Análisis Matemático. El problema podría ser muy trivial, pero no estoy recibiendo pista para él.

Deje {an}{an} ser una secuencia de números reales en el [2,2][2,2] tales que |an+2an+1|18|a2n+1a2n| for all n1.|an+2an+1|18|a2n+1a2n| for all n1. Demostrar que {an}{an} es convergente.

P. ¿ Alguna sugerencia para solucionar esto? (Yo no estaba recibiendo las restricciones de intervalo y el factor de 1818).

Yo: desde ai[2,2]ai[2,2] lo a2i[0,4]a2i[0,4]. Por lo tanto, |a2n+1a2n|4|a2n+1a2n|4 e lo |an+2an+1|12|an+2an+1|12. Después de esto, no podía continuar.

Cualquier SUGERENCIA es suficiente.

7voto

user299698 Puntos 96

Esto es suficiente para mostrar que (an)n(an)n es una secuencia de Cauchy.

Por la condición dada, para n1n1, desde el |an|2|an|2, |an+2an+1|18|a2n+1a2n|=18|an+1+an||an+1an|2+28|an+1an|=12|an+1an|. De ello se sigue que |an+2an+1|12|an+1an|122|anan1|12n|a2a1|. Por lo tanto, si n>m1luego |anam||a2a1|n2k=m112k|a2a1|2m20 como m.

5voto

user254665 Puntos 4075

INSINUACIÓN. Deje que dn=|an+1an|. entonces

dn+1=|an+2an+1||a2n+1a2n|/8=|an+1an||an+1+an|/8|an+1an|4/8=dn/2.

4voto

guest Puntos 1

Deje Am+1:=|am+1am| y A+m+1:=|am+1+am| por conveniencia. Luego, para un entero positivo k , \begin{align}A_{n+k+1}^-&\le\frac{1}{8}\left|a_{n+k}^2-a_{n+k-1}^2\right|=\frac{1}{8}A_{n+k}^+A_{n+k}^-\\&\le\frac{1}{8}A_{n+k}^+\cdot\frac18\left|a_{n+k-1}^2-a_{n+k-2}^2\right|=\frac1{8^2}A_{n+k}^+A_{n+k-1}^+A_{n+k-1}^-\\&\le\frac1{8^3}A_{n+k}^+A_{n+k-1}^+A_{n+k-2}^+A_{n+k-2}^-\\&\le\cdots\\&\le\frac{A_{n+k-(n+k-1)+1}^-}{8^{n+k-1}}\prod_{i=1}^{n+k-1}A_{n-k-i+1}^+\\&\le\frac{A_2^-}{8^{n+k-1}}\prod_{i=1}^{n+k-1}|2+2|\quad(\text{since}\, \left|a_j\right|\le2\quad\forall j\ge1)\\&=\frac{A_2^-}{2^{n+k-1}}\end {align} Por lo tanto, como k , tenemos |an+k+1an+k|0 y se muestra la convergencia.

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