Un ejercicio del libro de Apostol.

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente problema de Apostol del Análisis Matemático. El problema podría ser muy trivial, pero no estoy recibiendo pista para él.

Deje $\{a_n\}$ ser una secuencia de números reales en el $[-2,2]$ tales que $$|a_{n+2}-a_{n+1}|\le \frac{1}{8} |a_{n+1}^2-a_n^2| \,\,\,\, \mbox{ for all } n\ge 1.$$ Demostrar que $\{a_n\}$ es convergente.

P. ¿ Alguna sugerencia para solucionar esto? (Yo no estaba recibiendo las restricciones de intervalo y el factor de $\frac{1}{8}$).

Yo: desde $a_i\in [-2,2]$ lo $a_i^2\in [0,4]$. Por lo tanto, $|a_{n+1}^2-a_n^2|\le 4$ e lo $|a_{n+2}-a_{n+1}|\le \frac{1}{2}$. Después de esto, no podía continuar.

Cualquier SUGERENCIA es suficiente.

Answer 1

Esto es suficiente para mostrar que $(a_n)_n$ es una secuencia de Cauchy.

Por la condición dada, para $n\geq 1$, desde el $|a_n|\leq 2$, $$\begin{align}|a_{n+2}-a_{n+1}|&\le \frac{1}{8} |a_{n+1}^2-a_n^2| =\frac{1}{8}|a_{n+1}+a_n| |a_{n+1}-a_n|\\&\leq \frac{2+2}{8} |a_{n+1}-a_n|=\frac{1}{2} |a_{n+1}-a_n|. \end{align}$$ De ello se sigue que $$|a_{n+2}-a_{n+1}|\leq \frac{1}{2} |a_{n+1}-a_n|\leq \frac{1}{2^2} |a_{n}-a_{n-1}|\leq \cdots\leq \frac{1}{2^n} |a_{2}-a_{1}|.$$ Por lo tanto, si $n>m\geq 1$luego $$|a_n-a_m|\leq |a_{2}-a_{1}|\sum_{k=m-1}^{n-2}\frac{1}{2^k}\leq \frac{|a_{2}-a_{1}|}{2^{m-2}}\to 0$$ como $m\to\infty$.

Answer 2

INSINUACIÓN. Deje que $d_n=|a_{n+1}-a_n|.$ entonces

$$\begin{align} d_{n+1}=|a_{n+2}-a_{n+1}| & \le |a_{n+1}^2-a_n^2|/8 \\ & = |a_{n+1}-a_n| \cdot |a_{n+1}+a_n|/8 \\ & \le |a_{n+1}-a_n| \cdot 4/8 \\ & = d_n/2. \end {align}$$

Answer 3

Deje $A_{m+1}^-:=\left|a_{m+1}-a_m\right|$ y $A_{m+1}^+:=\left|a_{m+1}+a_m\right|$ por conveniencia. Luego, para un entero positivo $k$ , \begin{align}A_{n+k+1}^-&\le\frac{1}{8}\left|a_{n+k}^2-a_{n+k-1}^2\right|=\frac{1}{8}A_{n+k}^+A_{n+k}^-\\&\le\frac{1}{8}A_{n+k}^+\cdot\frac18\left|a_{n+k-1}^2-a_{n+k-2}^2\right|=\frac1{8^2}A_{n+k}^+A_{n+k-1}^+A_{n+k-1}^-\\&\le\frac1{8^3}A_{n+k}^+A_{n+k-1}^+A_{n+k-2}^+A_{n+k-2}^-\\&\le\cdots\\&\le\frac{A_{n+k-(n+k-1)+1}^-}{8^{n+k-1}}\prod_{i=1}^{n+k-1}A_{n-k-i+1}^+\\&\le\frac{A_2^-}{8^{n+k-1}}\prod_{i=1}^{n+k-1}|2+2|\quad(\text{since}\, \left|a_j\right|\le2\quad\forall j\ge1)\\&=\frac{A_2^-}{2^{n+k-1}}\end {align} Por lo tanto, como $k\to\infty$ , tenemos $\left|a_{n+k+1}-a_{n+k}\right|\to0$ y se muestra la convergencia.