¿Qué es una función continua en los racionales que no tiene una extensión continua en los reales?

Question

En una revisión de H. R. Pitt Integración, Medida y Probabilidad, Sir John Kingman escribió,

El autor es a menudo descuidado acerca de los detalles, afirmando, por ejemplo (en la página 105) que una función continua en los racionales tiene una extensión continua a los reales.

Utilizando las propiedades de las secuencias de Cauchy y la integridad de la $\mathbb R$, puedo demostrar que si $f:\mathbb Q\to\mathbb R$ es uniformemente continua, entonces existe una función continua $g:\mathbb R\to\mathbb R$ tal que $f=g$ a $\mathbb Q$.

De ello se sigue que cualquier improrrogables $f$ no puede ser uniformemente continua en $\mathbb Q$. Sin embargo, soy incapaz de venir para arriba con un ejemplo concreto.

Answer 1

Considere la función $f$ el envío de cada racional $<\pi$ a $0$ y el envío de cada racional $>\pi$ a $1$.

Como una función de $\mathbb{Q}$ a $\mathbb{Q}$ (con la habitual métrica/topología en $\mathbb{Q}$) este es continua: para cada racional $a$, podemos tomar un pequeño suficiente positivo $\epsilon$ , de modo que $\pi\not\in (a-\epsilon,a+\epsilon)$ y, a continuación, $f$ es constante en este intervalo. Pero, obviamente, no tiene ninguna extensión continua a todos los de $\mathbb{R}$.

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Algunas observaciones:

• El punto clave re: la continuidad es el hecho de que $\pi$ no es racional: si tratamos de hacer la misma cosa que la sustitución de $\pi$ con $17$, la continuidad de la reclamación se rompe (tome $a=17$).

• Mientras tanto, el punto clave re: nonextendibility - que no justificar, ya que es "obvio" - es que no son racionales arbitrariamente cerca de $\pi$. Si yo tuviera una "gran brecha" en lugar de "un único punto que falta," me gustaría tener un "espacio" para "conectar todo bien" (yay scarequotes!).

Y las observaciones anteriores juntas punto en la relación entre el $\mathbb{R}$ e $\mathbb{Q}$.

Answer 2

La restricción de la composición de $ℝ → ℝ,~x ↦ x - \sqrt 2$ y $ℝ\setminus \{0\} → ℝ,~x ↦ 1/x$ a los racionales no tiene extensión a $ℝ$ , ese es el mapa $$ℚ → ℝ,~x ↦ \frac 1 {x - \sqrt 2}.$ $

Answer 3

Deje $f(x) = 0$ si $x<\pi$ , y $f(x) =1$ de lo contrario. Como cada racional tiene una distancia positiva de $\pi$ , esta función es continua en los racionales. Claramente no puede extenderse a una función continua en los reales.