Pregunta 2:
Como Mariano puntos, podemos elevar $\Phi \in \operatorname{Diff}^+{(\mathbb S^1)}$ únicamente a un diffeomorphism $\phi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $\phi(0) \in [0,1)$ $\phi(x+1) = \phi(x) + 1$ todos los $x \in \mathbb{R}$. Levante $\Psi$ de manera similar a $\psi$. Para $t \in [0,1]$ el mapa de $\gamma_t = (1-t) \phi + t\psi$ es un diffeomorphism $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ (que no es estrictamente monótona creciente debido a $ \gamma_{t}^\prime(x) \gt 0$ todos los $x \in \mathbb{R}$ y todos los $t \in [0,1]$) tal que $\gamma_t(0) \in [0,1)$$\gamma_t(x+1) = \gamma_t(x)+1$. Por lo tanto $\gamma_t$ desciende a un diffeomorphism $\Gamma_t \in \operatorname{Diff}^+(\mathbb{S}^1)$, $\Gamma_0 = \Phi$ y $\Gamma_1=\Psi$. Es straightforwad para comprobar que $t \mapsto \Gamma_t$ es un camino continuo.
Lo hemos explotado aquí es que tenemos una breve secuencia exacta (de hecho una extensión central)
$$
0 \to \mathbb{Z} \a \operatorname{Diff}_{\mathbb{Z}}{(\mathbb{R})} \\operatorname{Diff}^+{(\mathbb{S}^1)} \a 1
$$
donde $\operatorname{Diff}_{\mathbb{Z}}{(\mathbb{R})}$ denota el grupo de diffeomorphisms $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ de los desplazamientos con el cambio de $\tau(x) = x+1$ $\mathbb{Z} = \langle \tau \rangle$ y el levante $\Phi \mapsto \phi$ es una sección de esta extensión central.
Pregunta 1:
Es claro que un diffeomorphism $\mathbb{S}^1 \to \mathbb{S}^1$ conserva o se invierte la orientación y que la orientación de la preservación de diffeomorphisms $\operatorname{Diff}^+{(\mathbb{S}^1)}$ forma un subgrupo normal de $\operatorname{Diff}{(\mathbb{S}^1)}$. Ahora simplemente el uso de la conjugación diffeomorphism $z \mapsto \bar{z}$ a ver que $\operatorname{Diff}^+{(\mathbb{S}^1)}$ tiene índice 2.
Para una excelente introducción a $\operatorname{Homeo}^+{(\mathbb{S}^1)}$ $\operatorname{Diff}^+{(\mathbb{S}^1)}$ y sus subgrupos recomiendo Étienne Ghys's artículo
Grupos que actúan en el círculo, Enseign. De matemáticas. (2) 47 (2001), no. 3-4, 329-407, MR2111644. La breve secuencia exacta se mencionó anteriormente, juega un papel central en la teoría.
Para más información sobre el diffeomorphism grupo del círculo, recomiendo la consulta de la obra de Andrés Navas, y, por supuesto, el clásico artículo:
Michael R. Herman, Sur la conjugación différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotaciones, Publicaciones de Mathématiques de l''IHÉS, 49 (1979), pág. 5-233.
