Análogo binomial de la suma de Riemann para integral definida

Question

He encontrado este interesante relación que es un análogo de la suma de Riemann para la integral definida.

$$ \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n f\Big(\frac{r}{n}\Big) = \int_{0}^{1}f(x) dx $$

$$ \lim_{n \to \infty}\frac{1}{2^n}\sum_{i = 1}^n {n \elegir r}f\Big(\frac{r}{n}\Big) = f\Big(\frac{1}{2}\Big) $$

Aplicación. $$ \lim_{n \to \infty}\frac{1}{2^n}\sum_{i = 1}^n {n \elegir r}\Gamma\Big(\frac{r}{n}\Big) = \sqrt{\pi} $$

$$ \lim_{n \to \infty}\frac{1}{2^n}\sum_{i = 1}^n {n \elegir r}\arcsin\Big(\frac{r}{n}\Big) = \frac{\pi}{6} $$

Pregunta: Cualquier referencia a esto en las matemáticas de la literatura?

Una generalización de este problema está publicada aquí.

Answer 1

Para una función continua $f:[0,1]\to\mathbb{R}$, es bien sabido que $f$ puede ser de manera uniforme aproximada por una combinación lineal de los polinomios de Bernstein, es decir, la función

$$ F_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}f\left(\frac{k}{n}\right) $$

converge uniformemente a $f$ a $[0, 1]$ como $n\to\infty$. Su resultado es un caso especial con $x = \frac{1}{2}$. La prueba se puede encontrar en muchos de los análisis del libro, tales como Marsden Primaria el Análisis Clásico , así como en el artículo de wiki vinculado anteriormente.

Para cada uno de ellos fijo $x \in [0, 1]$, esto también puede ser entendido como una aplicación de la fuerte ley de los grandes números, es decir, si $(X_i)_{i\geq 1}$ es una secuencia de yo.yo.d. $\operatorname{Bernoulli}(x)$ RVs, entonces

$$ F_n(x) = \mathbb{E}\left[f\left(\frac{X_1+\cdots+X_n}{n}\right)\right] \xrightarrow[n\to\infty]{} f(\mathbb{E}[X_1]) = f(x). $$