Encontrar$f$ tal que$f(f(f(f...(x)))) = x$

Question

Me gustaría encontrar el conjunto de funciones continuas $f_n(x)$, donde $f_n(x):\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ satisface $$f_n(f_n(f_n(f_n...(x)))) = x$$ where there are $n$ iterations of $f(x)$. For example $f_1(x)$ would be the solution to $f_1(x)=x$. $f_2(x)$ would be the solution to $f_2(f_2(x)) = x$.

Para $f_1(x)$, la única solución es $f_1(x)=x$. Para $f_2(x)$, las soluciones son involuciones.

Para $f_3(x)$, la única respuesta es $f_3(x)=x$. Para todos los otros $f_n(x)$, una solución es $f_n(x) = x$.

Mi pregunta: Para $n \ge 3$es $f_n(x) = x$ la única solución? Si no, ¿cuáles son las soluciones?

Edit: @MattSamuel dijo que cualquier involución trabaja para una $n$. Esto es debido a que $f_n(f_n(x))$ puede ser reemplazado con $x$. Por ejemplo, $$f_2(f_2(f_2(f_2(f_2(f_2(x)))))) = f_2(f_2(f_2(f_2(x)))) = f_2(f_2(x)) = x$$ However, this does not necessarily mean that involutions are the only set of solutions for $f_{2k}(x)$.

Answer 1

No hay monotonía solución para impares $n$ otros $f_n(x) = x$. Además, no existe ningún continua de soluciones de continuidad de la inyección es monótono.

Hay muchos discontinuo de soluciones para cualquier $n$. Representar cualquier número real $x$ como $x = \lfloor x \rfloor + \{x\}$ (entero y parte del piso), así que ahora tenemos bijection $\mathbb{R} \leftrightarrow [0, 1) \times \mathbb{Z}$. Elige a tu favorito de bijection $g_n: \mathbb Z \leftrightarrow \mathbb Z$ orden $n$ - por ejemplo, $g_n(i) = (i + 1) \mod n + \lfloor\frac i n\rfloor$ - split $\mathbb{Z}$ en segmentos de longitud $n$ y girar de cualquier segmento. Ahora defina $f_n(x) = \{x\} + g_n(\lfloor x \rfloor)$. Incluso es continua en todas partes, pero en puntos de $n - 1 + kn$.

(para simplificar, voy a denotar $f^n$ a $n$-ésima iteración de $f$ - no se necesitan poderes aquí)

El único continua de soluciones son involuciones - respuesta que enlaza puede ser extendido a prueba. $f$ tiene que ser monótona - si no lo tenemos en $f(x) > f(y) > f(z)$ mientras $x > z > y$ - entonces no es inyectiva, ya que no hay punto en $q \in [z, x]$ s.t. $f(q) = f(y)$, por lo que deberemos $f^n(q) = f^n(y)$ pero $q \neq y$.

Si $f$ es estrictamente creciente, entonces $f(x) = x$ por @Najib del argumento.

Si $f$ es estrictamente decreciente, a continuación, $f$ tiene un único punto fijo $x_0$. Tenemos $f(x_0 + a) < f(x_0) = x_0$ e $f(x_0 - a) > f(x_0) = x_0$ positivos $a$. $g =f\circ f$ es continua e inyectiva tan monótono. Como $f(x_0 + 1) < f(x_0)$, tenemos $f(f(x_0 + 1)) > x_0$, lo $g$ es cada vez mayor. Si $g(x) \neq x$ para algunos $x$, de nuevo tendremos la $f^n(x) \neq x$. Por lo $g(x) = x$. Y por lo tanto $f$ es la involución.