¿La suma$\sum_{n = 1} ^\infty \frac{\sqrt {n!}} {(3+\sqrt 1)(3+\sqrt 2)...(3+\sqrt n)} $ converge o diverge?

Question

La tarea es estudiar la convergencia de la serie $\sum_{n = 1} ^\infty \frac{\sqrt {n!} } {(3+\sqrt 1)(3+\sqrt 2)...(3+\sqrt n)} $ . Intenté aplicar la prueba de Gauss y la razón, pero no me llevó a ninguna parte. En mi libro de texto dice que esta serie es convergente.

Answer 1

Deje $$a_n := \frac{\sqrt{n!}}{(3+\sqrt{1})(3+\sqrt{2})\cdots(3+\sqrt{n})} = \frac{1}{(1+3/\sqrt{1})(1+3/\sqrt{2})\cdots(1+3/\sqrt{n})}.$$ Entonces $$\log(a_n) = -\sum_{k=1}^n \log\left(1 + \frac{3}{\sqrt{k}}\right).$$ En esta suma, $\log(1 + 3/\sqrt{k}) \sim \frac{3}{\sqrt{k}}$ como $k \to \infty$, lo $\log(a_n) \sim -\sum_{k=1}^n \frac{3}{\sqrt{k}} \sim -6 \sqrt{n}$ como $n \to \infty$.

Ahora, se deduce que el $\frac{\log(a_n)}{\log n} \to -\infty$ como $n \to \infty$, por lo que para $n$ suficientemente grande, tenemos $\frac{\log(a_n)}{\log n} < -2$. Por lo tanto, para $n$ suficientemente grande, $a_n < \frac{1}{n^2}$, y por la prueba de comparación podemos concluir que $\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge.