¿El logaritmo satisface alguna ecuación diferencial?

Question

La función exponencial $\exp:\mathbb{R}\to\mathbb{R}_+$ satisface la ecuación diferencial $f^\prime(x)=f(x)$ .

¿El logaritmo $\log:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}$ también satisface alguna ecuación diferencial?

Curioso sobre si esto se cierra de inmediato o no ... parece una pregunta demasiado básica, pero he estado totalmente atrapado con esto desde ayer.

Answer 1

Si $y(x)= \log x$ , entonces $y'(x)=\frac{1}{x}=e^{-y(x)}.$

Answer 2

$\ln(x)$ (y cualquier otro logaritmo) satisface la ecuación diferencial lineal y homogénea $$ xf '' (x) + f '(x) = 0. $$ Para $\ln$ , esta es una forma diferente. de indicar $f'(x) = x^{-1}$ .

Answer 3

Deje $f$ ser un bijective de la función en $I$, con valores en $J$, de recíproca $g$. Si $f'$ nunca se anula, entonces $g$ ha derivado en $J$, e $g' = \frac{1}{f'(g)}$.

Aquí $\exp$ es un bijection de $\mathbb R$ a $\mathbb R^*_+$, cuyo derivado nunca se cancela. Por lo tanto, su recíproco $\log$ es derivable en $\mathbb R_+^*$ y comprueba

$$\log'(x) = \frac{1}{\exp'(\log(x))}$$

que es una forma elegante de decir que $\log$ verifica la ecuación diferencial $y' = \frac 1x$, y la ecuación de $y'=e^{-y}$ as @Fred dijo.

Answer 4

He aquí una manera divertida de ver la relación entre la definición de la función exponencial y la "evidente" respuesta:

Supongamos $y = e^x$. Por definición de la función exponencial, esto significa que $dy/dx = y$. Ahora la vista $x(y)$ como una función de la $y$, es decir, $x$ es la inversa de la función exponencial. Reorganización de la relación entre los diferenciales de arriba, tenemos $$ \frac{dy}{dx} = y \quad \Rightarrow \quad \frac{dx}{dy} = \frac{1}{y}. $$ Por lo tanto, la inversa de la función exponencial, que obedece a la ecuación diferencial $x'(y) = 1/y$.

Answer 5

Desde $\ln x:=\int_1^x\frac1t\operatorname dt$ , aplique FTC. Obtenga $\ln' x=\frac1x$ .

Entonces, $\boxed{f'(x)=\frac 1x}$ .