Giro vs momentos angulares orbitales en QFT

Question

No podía encontrar las últimas respuestas que coincidan con lo que yo quería, así que voy a intentar preguntar en forma ligeramente diferente. En QM, hemos total momentum angular operador $\vec{J}$ (se me cayó el sombrero por conveniencia) \begin{align} \vec{J} = \vec{L} +\vec{S} \end{align} donde $\vec{L}$ es para el impulso angular orbital y $\vec{S}$ es para el momento angular de espín. Para el átomo de hidrógeno, esta (no la suma, sino $\vec{L}^2$ e $L_z$) nos da dos de los tres números cuánticos, por lo que a menudo se etiqueta el estado fijo de la energía como $\left|l,m\right>$ (por alguna razón, $m$ se utiliza en los textos estándar en lugar de, digamos, $s$). Creo entender cómo funcionan en QM, o al menos el hecho de que $\vec{J},\vec{L},\vec{S}$ todos comparten las mismas relaciones de conmutación (es decir, comparten la misma Mentira de álgebra de la estructura). La adición viene de cuando uno tiene materias como acoplamiento spin-órbita y similares.

En QFT, cosas comienzan a ponerse un poco/mucho confuso. En primer lugar, el momento angular de operador es muy utilizado para la etiqueta de los estados en la irreductible unitaria representación del grupo de Poincaré, que está escrito como $\left|p,\sigma\right>$ (o $\Psi_{p,s}$ siguiente Weinberg); es un operador en el sentido de que aparece como una representación de la rotación de los elementos del grupo. Wigner de la clasificación, a continuación, nos da que tambien etiqueta estados con dos números cuánticos: que a veces también escribo esto como $\left|m,j\right>$, donde $m$ es el resto de la masa y $j$ es el spin. En ninguna de estas construcciones hago para ver la convencional, el impulso angular orbital (en el texto por Schwartz en el Capítulo 11, por ejemplo, hizo un comentario cuando no hay ningún momento angular, así que él tiene la "fácil" caso de $\vec{J}=\vec{S}$.) En el estándar de la QM, podemos distinguir claramente dos versiones de angular ímpetus y sus valores propios.

Pregunta: ¿el impulso angular orbital sentido en QFT y cómo surge si lo hace? Debo pensar de $\vec L$ mobiliario algún tipo de producto tensor representación de lo que debería ser etiquetado estados con $\left|m,j,s\right>$ o algo? Otra posibilidad es que simplemente no funciona con la adición de angular momenta en QFT, especialmente en la libertad de la teoría, pero me gustaría tener una explicación sobre el por qué esto debería o no debería ser el caso. Puede que se me haya entendido algo muy básico, pero no puedo pez fuera exactamente qué.

Nota: creo que la cosa habitual acerca de acoplamiento spin-órbita no debe trabajar, debido a que la gestión de calidad (pensar sobre el átomo de hidrógeno) y estrictamente hablando QFT, a menos que hagamos algo más (2-partícula de los estados?). En esos casos, el operador $\vec{L}$ incluso viene de $\vec{r}\times\vec{p}$ que no aparecen de forma natural en QFT (lo $\vec{r}$ en QFT?). No creo que yo debería ir a definir $\vec{L}:=\vec{r}\times\vec{\hat{\pi}}$, donde $\hat\pi$ es el conjugado de impulso del campo.

Answer 1

Ya que usted menciona Weinberg, eche un vistazo a la sección 7.4, especialmente (7.4.10). Bajo un homogénea de la transformación de Lorentz generado por el anti-simétrica del tensor $\omega^{\mu\nu}$, un campo de transformaciones como $$\Psi^\ell \mapsto \Psi^\ell + (\mathcal{J}_{\mu\nu})^\ell{}_m \omega^{\mu\nu} \Psi^m$$ es decir, con el representante de la $\omega^{\mu\nu}$ en cualquier representación de $\Psi$ pertenece. Entonces, de acuerdo con el teorema de Noether $$ 0 = \partial^\kappa \left[\frac{i}{2} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial^\kappa \Psi^\ell)} (\mathcal{J}_{\mu\nu})^\ell{}_m \Psi^m \right] - \frac{1}{2}(T_{\mu\nu} - T_{\nu\mu}) \tag{7.4.10}$$ donde $T_{\mu\nu}$ es el Noether actual de las traducciones, es decir, de la canónica de estrés-tensor de energía.

Ahora, $T_{\mu\nu}$ es en sí mismo conservadas, $\partial^\mu T_{\mu\nu} = 0$, por lo que $$\partial^\kappa (x_\mu T_{\kappa\nu} - x_\nu T_{\kappa \mu}) = T_{\mu\nu} - T_{\nu\mu}$$ y podemos escribir (7.4.10) como $$ 0 = \partial^\kappa \left[ \frac{i}{2} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial^\kappa \Psi^\ell} (\mathcal{J}_{\mu\nu})^\ell{}_m \Psi^m - \frac{1}{2}(x_\mu T_{\kappa\nu} - x_\nu T_{\kappa \mu}) \right ] $$ y esto es claramente expresan que el spin plus orbital momento angular se conserva.

Leer más en Weinberg 7.4, y también ver la segunda sección de la página de la Wikipedia sobre el Belinfante-Rosenfeld tensor.

Answer 2

El impulso angular Orbital tiene que ver con la posición. Es el "normal" momentum angular $r\times p$ hemos aprendido acerca de la Física 101 mientras que la vuelta es un extra de momento angular intrínseco que no tiene que ver con la posición. Ahora hay una etiqueta que se olvidó en su Wigner una partícula estado base. Que es el impulso $p$.

Cuando se rota el estado de $p$ gira demasiado, por lo que el momento angular operador debe tener una parte relacionada con el impulso del operador. Si tenemos un wavepacket superposición esta pieza extra actúe como "normal" el impulso angular orbital parte.

Esto se contabilizan automáticamente si usted encuentra que el momento angular del operador en términos de campos a través de la Lagrangiana. El momento angular de la densidad será algo parecido a $x^\lambda T^{\mu\nu}-x^\mu T^{\lambda\nu}$ donde $T$ es el tensor de inercia de energía, además de un adicional de "spin", si el campo fundamental(s) en su Lagrangiano no trivial propiedades de rotación.

Answer 3

Si usted piensa acerca de Wigner de la clasificación, luego de una partícula estados son representaciones irreducibles del grupo de Poincaré, como usted dijo. Para etiquetar estas representaciones usted necesita el Casimir invariantes de Poincaré - la partícula de la masa y el pequeño grupo de Casimir, que para partículas macizas corresponde a las simetrías en es su resto marco, el SO(3) la rotación del grupo. Así se obtiene la vuelta y que todo el momentum angular que tiene en uno de partícula de los estados. El impulso angular Orbital requiere el concepto de distancia, lo que para el 1 de partícula de los estados no existe.

Sin embargo, si usted considere dos partículas de los estados que puede tomar como un producto tensor entre 2 una partícula de estados con 2 diferentes espín. O, usted puede tomar como un solo estado, con definida de energía-impulso total y el momento angular de la etiqueta. Este impulso angular es sólo el Clebsch-Gordon suma de ambas tiradas y el impulso angular orbital entre las partículas. Cómo pasar de una descripción a otra es ir a el centro de masas de las dos partículas. Aquí usted tiene que especificar la dirección de la relación lineal impulso en la 2-esfera, este dos-ángulo de dependencia puede ser expandida en armónicos esféricos, funciones propias del momento angular.

Como un ejemplo concreto, considere la posibilidad de dos spin-0 bosones. Este 2 de partículas estado depende de las 6 variables, 2x impulso lineal de los vectores. Si usted va a CM marco de este estado depende del total de impulso lineal y la relación de impulso. El valor absoluto de la relación de impulso se puede poner en la Energía total, y sólo te falta la orientación de la relativa impulso. El 2 ángulo de la dependencia puede ser objeto de comercio de (l,m) por un armónico esférico de descomposición. Si las partículas tienen un giro internos, a continuación, se puede resumir en estos giros el uso de Clebsch-Gordon coeficientes, para obtener la costumbre total momentum angular 'j'. A continuación, puede ver que estos 'j' de los estados son, de hecho, eigeinstates de la 2-partícula de la representación de la rotación de los generadores del grupo de Poincaré.