Una restricción de orden finito de un operador de Fredholm es también un operador de Fredholm.

Question

Sea $A:D(A) \subseteq H \to H$ et $B:D(B) \subseteq H \to H$ sean operadores lineales cerrados en un espacio de Hilbert $H$ tal que $A$ es una extensión de orden finito de $B$ Eso es, $B \subseteq A$ et $\mbox{dim } D(A)/D(B) < \infty$ . Necesito demostrar que si $\lambda \notin \sigma(A)$ et $\lambda I-A$ es un operador de Fredholm, entonces $\lambda I-B$ también es un operador de Fredholm.

Hay una pista: Puesto que $A$ es una extensión de orden finito de $B$ la diferencia de los resolventes es de orden finito.

Pero, no sé cómo puedo utilizar la pista. ¿Puedo decir que $\lambda \notin \sigma(B)$ ?

Mi intento

Desde $\lambda I-A$ es un operador de Estocolmo, por definición de un operador de Estocolmo sabemos que $\mbox{dim} (\ker (\lambda I-A))<\infty$ , $\mbox{dim} (H/R(\lambda I-A))<\infty$ y la gama $R(\lambda I-A)$ de $\lambda I-A$ está cerrado en $H$ . De aquí se deduce que $\mbox{dim} (\ker (\lambda I-B))<\infty$ .

Gracias por la ayuda que me puedan prestar.

Answer 1

En $D(A)/D(B)$ es finito dimensional elija un complemento finito dimensional $C$ de $D(B)$ en $D(A)$ . Por comodidad tomamos $\lambda =0$ Por supuesto, esto no supone ninguna restricción.

Ahora $$R(A)=\{ Ax\mid x\in D(B)\oplus C\} = \{A x\mid x\in D(B)\} + \{Ax\mid x\in C\} = R(B) + A(C),$$ donde $A(C)$ es de dimensión finita, ya que $C$ es de dimensión finita. Por lo tanto $R(B)$ tiene co-dimensión finita en $R(A)$ que tiene co-dimensión finita en $H$ y así $R(B)$ tiene co-dimensión finita en $H$ . Ya ha visto que $\ker(B)$ es de dimensión finita, así que lo único que queda por comprobar es que $R(B)$ está cerrado.

Desde $B$ es un operador cerrado se tiene que su grafo $G_B = \{ (y, By) \mid y\in D(B)\}$ es un espacio de Banach respecto a la norma del grafo $\|(y, By)\| = \|y\|+\|By\|$ . Desde $A$ ha cerrado imagen tienes que $R(A)$ está cerrado. Puede interpretar el mapa $\pi_2:G_B\to H$ como mapa $G_B\to R(A)$ que es ahora un mapa lineal continuo (en realidad una contracción) entre dos espacios de Banach con imagen $R(B)\subset R(A)$ . Acabamos de ver en el párrafo anterior que este mapa tiene co-kernel de dimensión finita, por los resultados estándar la imagen es entonces cerrada (véase por ejemplo aquí ou aquí ).