¿Cuál es el máximo de$\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k(^kx)$?

Question

Durante mi prueba de la serie de $\sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^k(^kx)$, me encontré con que la suma converge a dos límites a la hora de $n \to \infty$, para $e^{-e} \lt x \le e^{1/e}$ y oscila entre dependiendo de si $n$ es par o impar.

Aquí, $^kx$ es tetration. La notación $^kx$ es el mismo que $x^{x^{x^{....}}}$, que es la aplicación de la exponenciación $k-1$ veces. Ex. $^3x=x^{x^x}$.

Preguntas:

$(1)$ ¿Cuál es el máximo y el mínimo de $\lim\limits_{n\to \infty}\sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^k(^kx)$ incluso $n$?

$(2)$ ¿Cuál es el máximo y el mínimo de $\lim\limits_{n\to \infty}\sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^k(^kx)$ por extraño $n$?

Edit 1:

También durante mi prueba en PARI, he observado que la suma parece converger a dos valores sólo en el dominio de $e^{-e} \lt x \le e^{1/e}$. Creo que la razón de esto es que, desde el $^{\infty}x$ converge sólo para $e^{-e} \lt x \le e^{1/e}$, la suma también converge para el mismo dominio. Agradecería si alguien podría explicar por qué la suma converge sólo para $e^{-e} \lt x \le e^{1/e}$.

Edit 2:

Con la ayuda de usuario Vepir, yo era capaz de trazar $\lim\limits_{n\to \infty}\sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^k(^kx)$ para ambos pares e impares $n$.

Incluso $n$:

Extraño $n$:

Observaciones en los gráficos:

$(i.)$ $x=e^{-e}$ es el máximo para $\lim\limits_{n\to \infty}\sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^k(^kx)$ para ambos pares e impares $n$ cuando $e^{-e} \lt x \le e^{1/e}$.

$(ii.)$ $x=1$ es el mínimo para $\lim\limits_{n\to \infty}\sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^k(^kx)$ incluso $n$ cuando $e^{-e} \lt x \le e^{1/e}$.

$(iii.)$ $x=e^{1/e}$ es el mínimo para $\lim\limits_{n\to \infty}\sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^k(^kx)$ por extraño $n$ cuando $e^{-e} \lt x \le e^{1/e}$.

Ahora, ¿cómo podemos probar que ninguna de las tres afirmaciones anteriores?

Answer 1

Primero de todo, ${}^\infty x$ converge para $e^{-e}\color{red}{\leqslant}x\leqslant e^{1/e}$ (una buena referencia aquí es "Exponenciales Reiteró" por R. A. Knoebel, mencionado en algunos posts en este sitio). Pero, de hecho, tanto el $s_{2n-1}(x)$ e $s_{2n}(x)$, donde $s_n(x)=\sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^k({}^k x)$, convergen sólo para $e^{-e}<x\leqslant e^{1/e}$. Para ver por qué, vamos a $e^{-e}\leqslant x\leqslant e^{1/e}$, $y={}^\infty x$ e ${}^n x=y(1-r_n)$. A continuación, $r_{n+1}=1-y^{-r_n}$y $$\lim_{n\to\infty}r_n=0\implies\lim_{n\to\infty}\frac{r_{n+1}}{r_n}=\ln y.$$ Por lo tanto, cuando se $e^{-1}<y<e$ (es decir, cuando $e^{-e}<x<e^{1/e}$), ambas sumas convergen (por el coeficiente de prueba). La convergencia en $x=e^{1/e}$ se deduce del hecho de que $r_n$ es positiva y decreciente en este caso. Finalmente, para $x=e^{-e}$ $$r_{n+1}=1-e^{r_n}\implies r_{n+2}=1-e^{1-e^{r_n}}=r_n-r_n^3/6+o(r_n^3)$$ a partir de la cual se obtiene $\lim\limits_{n\to\infty}(-1)^{n-1} r_n\sqrt{n}=\sqrt{6}$ (ver esta pregunta de enfoque). Por lo tanto, debido a la divergencia de la $\sum\limits_{n\geqslant 1}\frac{1}{\sqrt{n}}$tanto $s_{2n-1}(e^{-e})$ e $s_{2n}(e^{-e})$ divergen a $+\infty$. Esto también demuestra $\color{blue}{(i.\!)}$.

El $\color{blue}{(ii.\!)}$ e $\color{blue}{(iii.\!)}$ son de fácil. El (primaria) observación hecha en el artículo, \begin{align} x<1&\implies x<{}^3 x<{}^5 x<\ldots<{}^6 x<{}^4 x<{}^2 x; \\ x>1&\implies x<{}^2 x<{}^3 x<\ldots, \end{align} da $s_{2n}(x)>0[{}=s_{2n}(1)]$ cuando $x\neq 1$, demostrando $\color{blue}{(ii.\!)}$, e $s_{2n-1}(x)>-1[{}=s_{2n-1}(1)]$ cuando $x<1$. Finalmente, para $x>1$, ${}^{n+1}x-{}^n x$ está aumentando, lo cual se ha demostrado con la inducción en $n$y $${}^{n+1}x-{}^n x={}^n x(x^{{}^n x-{}^{n-1}x}-1).$$ Por lo tanto, $s_{2n-1}(x)$ es la disminución de (al menos) por $x>1$, demostrando $\color{blue}{(iii.\!)}$.