¿Cómo encontrar el campo fijo para el grupo Galois?

Question

Vamos a ser $K$ finito, la división de campo de la $f(x) (\in \Bbb Q[x])$ sobre el campo, $\Bbb Q$(número racional set)

Y decir $E_H$ es un campo fijo de $H\subset \operatorname{Gal}(K/Q) $.

Pregunta principal) Encuentre el campo fijo $E_H$

(1) $f(x) = x^4 -2$, $H= \{ \sigma \}$ con $\sigma(\alpha) = -\alpha i $ , $ \alpha(i) = -i $, e $\alpha = 2^{1 \over 4}$

(2) $f(x) = x^8 +1$, $H= \{ \sigma_1, \sigma_7 ,\sigma_9, \sigma_{15 } \}$

con$\sigma_n (\omega) = \omega \to \omega^n $ para $\omega = e^{{2\pi i} \over 16} $ e $gcd(n,16)=1$

P. s.) He resuelto el (1) por la ineficiencia de manera que escribir el elemento de formulario como un método en la imagen adjunta. Por lo que utilizar este método para resolver (2) para encontrar el campo fijo para $H$.

Pero el proceso realmente complicado, por lo que no puede encontrar el campo fijo.(C. f. el de abajo de este post la imagen es mi intento)

¿Hay algún método sencillo para encontrar el campo fijo?

Gracias.

Answer 1

Aquí está una manera más sencilla de acercarse a este uso de la teoría de Galois. Voy a llevar a cabo el cálculo de los bocetos para (1) y salir (2) para que usted pueda hacer. Yo uso la notación $K^H$ en lugar de $E_H$.

1. Determinar la división de campo de $K$ para $f$. Aquí, $K = ℚ(\sqrt[4] 2, \mathrm i)$, que es fácil ver como $f$ se divide en $K$ e $K$ claramente se genera por las raíces de $f$ en $K$.
2. Calcular el grado $[K : ℚ]$. Aquí, $[K : ℚ] = 8$, lo que se puede deducir observando que en el $ℚ(\sqrt[4] 2)$ es un subcampo de la $K$ que no contengan $\mathrm i$.
3. Determinar la estructura del grupo de Galois $G = \operatorname{Gal} (K/ℚ)$. Aquí, la teoría de Galois nos dice que $\lvert G \rvert = [K : ℚ] = 8$, por lo que realmente sólo hay dos opciones, hasta isomorfismo: El grupo cíclico $C_8$ o el diedro del grupo de los cuadrados de las $D_{2×4}$. Si $G \cong C_8$, entonces, por la correspondencia de Galois, no sería sólo un total de cuatro intermedios campos en $K/ℚ$, pero $ℚ$, $ℚ(\sqrt 2)$, $ℚ(\sqrt[4] 2)$, $ℚ(i)$ e $K$ son cinco diferentes intermedio campos, por lo que podemos concluir $G \cong D_{2×4}$.
4. Determinar la estructura de los subgrupos $H ⊆ G$. Aquí, es fácil comprobar que $σ^2(α) = α$ e $σ^2(\mathrm i) = \mathrm i$ para $α = \sqrt[4] 2.$ Desde $K = ℚ(\sqrt[4] 2, \mathrm i)$, $σ^2 = \mathrm{id}_K$, lo $H = ⟨σ⟩$ es cíclico de orden $2$.
5. Determinar el campo $K^H$. Una vez más por la teoría de Galois, ahora sabemos $[K : K^H] = \lvert H \rvert = 2$, pero $[K : ℚ] = \lvert G \rvert = 8$, lo $[K^H : ℚ] = 4$. Por ensayo y error, rápidamente nos encontramos con que $$σ(α - α\mathrm i) = σ(α) - σ(α)σ(\mathrm i) = (-α\mathrm i) - (-α\mathrm i)(-\mathrm i) = α - α\mathrm i$$ para $α = \sqrt[4] 2$, lo $α - α\mathrm i ∈ K^H$, pero $α - α \mathrm i = \sqrt[4] 2(1 - \mathrm i)$ es un cero de $g = X^4 + 8$, que es irreducible sobre $ℚ$. Por lo tanto $[ℚ(α) : ℚ] = 4 = [K^H : ℚ]$ y, a partir de $ℚ(α) ⊆ K$, llegamos a la conclusión de $$K^H = ℚ(α - α\mathrm i) = ℚ(\sqrt[4] 2 (1 - \mathrm i)).$$

Para (2), es necesario conocer la teoría de Galois de cyclotomic extensiones, que es sólo lo que le dice lo que sus grupos de Galois son. A continuación, debe ser fácil de vela.

Edit. He cometido un error en la determinación de $H$ anterior, lo que ahora se corrige. Ahora, determinar el grupo de Galois no es necesario, por lo que (3.) es superfluo. Sin embargo, voy a dejar porque es en general útil para el cálculo de la estructura de $H$, que es, en general, útiles para el cálculo de $K^H$.