¿Son$f$ satisfactorios$|f(y)| = |f(x+y) - f(x)|$ aditivos?

Question

(Esta pregunta está inspirada en esta cuestión, y en particular el comentario de Charlie Cunningham.)

Deje $(V, \|\cdot\|)$ ser una normativa real de espacio vectorial. Deje $f: V \to V$ ser una función satisfactoria, para todos los $x, y \in V$, $$ \|f(y)\| = \|f(x+y) - f(x)\|. $$ De lo anterior se sigue que $f$ es aditivo, es decir, que $f(x + y) = f(x) + f(y)$ para todos los $x, y \in V$?

Este parece que debería ser una pregunta facil, pero todavía no he descubierto todavía. Algunos bastante trivial observaciones:

• Tomando $y=0$ nos da $\|f(0)\| = \|f(x) - f(x)\| = 0$, lo $f(0) = 0$.
• Tomando $y=-x$ nos da $\|f(-x)\| = \|-f(x)\|$.
• Si pudiéramos demostrar que $f(-x) = -f(x)$, podríamos tomar a $y=-2x$ a demostrar que $\|f(2y)\| = 2\|f(y)\|$.
• Usando la ecuación de ambos $y$ e $-y$ nos da $$ \|f(x+y) - f(x)\| = \|f(x-y) - f(x)\|. $$
• No importa que el $f$ es un endofunction (podría ir $f: V \to W$ también) para la respuesta de la pregunta, pero se trataba de una simple formulación.

Answer 1

No.

En el caso de los mapas de $V \to W$ un contraejemplo para $\mathbb R \to \mathbb R^2$ con la $l^\infty$ norma se encuentra en

Väisälä, Jussi, Una prueba de la Mazur-Ulam teorema, Am. De matemáticas. Mon. 110, Nº 7, 633-635 (2003). ZBL1046.46017.

(y yo no comprobar, pero tal vez ese ejemplo es que ya en el año 1932 papel de Mazur & Ulam)

Aquí, voy a adaptar el ejemplo para obtener una asignación de un espacio para sí mismo.

---

Ejemplo
$(V , \|\cdot\|)$ es el espacio de secuencia $c_0$. Es decir, los elementos de $V$ son secuencias infinitas $\mathbf x = (x_1,x_2,x_3,\cdots)$ de los números reales tal que $\lim_{j\to\infty} x_j = 0$. La norma es $$ \|\mathbf x\| = \max\big\{|x_1|,|x_2|,|x_3|,\cdots\big\}. $$ Es bien sabido que esta $V$ es un espacio de Banach.

El mapa de $f : V \to V$ se define como sigue. Si $\mathbf x = (x_1,x_2,x_3,\cdots)$, a continuación, $f(\mathbf x) = (|x_1|, x_1, x_2, x_3,\cdots)$.

Pretendemos que $f$ satisface $\|f(\mathbf x+\mathbf y) - f(\mathbf y)\| = \|f(\mathbf x)\|$ for all $\mathbf x, \mathbf y \in V$.
En primer lugar, $\|f(\mathbf x)\| = \|\mathbf x\|$. De hecho, $$ \|\mathbf x\| = \max\big\{|x_1|,|x_2|,|x_3|,|x_4|,\cdots\big\} =\max\big\{|x_1|,|x_1|,|x_2|,|x_3|,|x_4|,\cdots\big\} = \|f(\mathbf x)\| . $$ Siguiente, para calcular el $\|f(\mathbf x+\mathbf y) - f(\mathbf y)\|$, tenga en cuenta que por la desigualdad de triángulo $\big||x_1+y_1|-|y_1|\big| \le |x_1|$. Así \begin{align} f(\mathbf x+\mathbf y) - f(\mathbf y) &= \big(|x_1+y_1|, x_1+y_1, x_2+y_2, x_3+y_3,\cdots\big) - \big(|y_1|,y_1,y_2,y_3,\cdots \big) \\ &= \big(|x_1+y_1|-|y_1|, x_1, x_2, x_3,\cdots\big) \\ \|f(\mathbf x+\mathbf y) - f(\mathbf y)\| &= \max\big\{\big||x_1+y_1|-|y_1|\big|, |x_1|, |x_2|, |x_3|,\cdots\big\} \\&=\max\big\{|x_1|, |x_2|, |x_3|,\cdots\big\} = \|\mathbf x\| = \|f(\mathbf x)\| \end{align} Esto completa la prueba de que $\|f(\mathbf x+\mathbf y) - f(\mathbf y)\| = \|f(\mathbf x)\|$.

---

Ahora un contraejemplo muestra que $f$ no es aditivo: \begin{align} \mathbf x &= (1,0,0,0,\cdots)\\ \mathbf y &= (-1,0,0,0,\cdots)\\ \mathbf x + \mathbf y &= (0,0,0,0,\cdots)\\ f(\mathbf x) &= (1,1,0,0,0,\cdots)\\ f(\mathbf y) &= (1,-1,0,0,0,\cdots)\\ f(\mathbf x) + f(\mathbf y) &= (2,0,0,0\cdots)\\ f(\mathbf x + \mathbf y) &= (0,0,0,0,0,\cdots)\\ f(\mathbf x + \mathbf y) &\ne f(\mathbf x) + f(\mathbf y) \end{align}