Respuesta Corta:
Su trabajo está perfectamente bien si la parte inferior y superior de la integral de los límites de satisfacer $0 < a \leq b$. En caso de que su respuesta $2u - \ln(u)$ incluso tiene una bonita forma cerrada puramente en términos de $x$:
$$
\int_a^b \frac{dx}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\ldots}}}} = \Big[\big(1 + \sqrt{4x + 1}\big) - \ln\Big(\frac{1}{2}\big(1 + \sqrt{4x + 1}\big)\Big)\Big]_a^b
$$
Esta fórmula también continúa trabajando para un límite inferior de $a = 0$ si usted interpretar la integral y/o el anidado de radicales $\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\ldots}}}$ en el denominador adecuadamente suficiente.
Respuesta Larga (Análisis):
Puesto que usted utilizó $u$-sustitución, su método de trabajo, siempre que las condiciones para una integración por sustitución se cumplen. Dicen que son la integración de más de un intervalo $[a, b]$. Usted tiene que verificar:
Hace la función de $u(x) = \sqrt{x + u(x)}$ que define implícitamente realmente tengan sentido a $[a, b]$? En otras palabras, es en realidad una función de $u : [a, b] \to \Bbb R$ que satisface la recursividad?
Es la función de $u(x)$ realidad diferenciable sobre $[a, b]$?
$\underline{\textit{There is some good news for these questions:}}$
Mientras $x > 0$, hay una bien definida la expresión de $u$ en términos de $x$ cuando $u = \sqrt{x + u}$. Para entender esto, necesitamos traducir la expresión intuitiva $\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\ldots}}}$ en el preciso lenguaje del cálculo. Sólo entonces podemos llevar toda la potencia de cálculo para influir en este problema. Así que formalmente lo que está pasando con un entramado radical como $\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\ldots}}}$ es este:
Deje $u_{x,1} = \sqrt{x}$ y definir de forma recursiva la secuencia de $u_{x,n + 1} = \sqrt{x + u_{x,n}}$ ($n \in \Bbb Z_+$). Si $$u_x = \lim\limits_{n \to \infty}u_{x,n}$$ exists, then we may define our sought-after function $u$ at $x$ to be $u(x) = u_x$. In essence, the limit $\lim\limits_{n \to \infty}u_{x,n}$ is mathematically what we define the expression $\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\ldots}}}$ to be. And we can easily check that $u_x = \sqrt{x + u_x}$ by taking the limit as $n \to \infty$ at both sides of the equation $u_{x,n + 1} = \sqrt{x + u_{x,n}}$.
Ahora, la buena noticia es que, mientras las $x > 0$, se puede mostrar que la secuencia de $u_{x,n}$ es acotada y monótona creciente de manera que no converge a un límite definido, a saber,
$$u_x = \frac{1}{2}\big(1 + \sqrt{4x + 1}\big)$$
Por lo tanto, nuestra función $u(x) = u_x$ está bien definido para $x > 0$. También, tenga en cuenta que la fórmula anterior no debe sorprender. Usted puede ver fácilmente dónde se originó:
De manera informal, si usted toma la sustitución de la ecuación de $u^2 - u = x$ y lo escribió como una ecuación cuadrática $u^2 - u - x = 0$, se puede resolver por el pensamiento de $x$ como una constante. Y, de hecho, una de las soluciones que aparece es justamente $u_+ = \frac{1}{2}\big(1 + \sqrt{4x + 1}\big)$. Usted puede eliminar la otra solución, $u_- = \frac{1}{2}\big(1 - \sqrt{4x + 1}\big)$ ya que es negativa si $x > 0$ y por la convención de las raíces cuadradas son positivos.
Así que mientras $x > 0$, usted puede tomar con seguridad $$u(x) = \frac{1}{2}\big(1 + \sqrt{4x + 1}\big)$$ as the $u$-substitution function which satisfies $u = \sqrt{x + u}$. In fact, as is apparent from the formula, $u(x)$ es incluso diferenciable en este caso.
$\underline{\textit{But there are caveats:}}$
$1.\ \textbf{Note that for $x < 0$, the limit does not make sense:}$ como el primer elemento de la secuencia $u_{x,1} = \sqrt{x}$ no es real. Así, a partir de este análisis, usted puede inmediatamente a la conclusión de que no debe ser la integración de más de valores negativos en su integral.
$2.\ \textbf{Next, at $x = 0$, things almost work out but break down anyway:}$ Nota, solo hemos conseguido eliminar la $\frac{1}{2}\big(1 - \sqrt{4x + 1}\big)$ como candidato para el límite superior, porque fue negativo si $x > 0$. Bueno, si $x = 0$, a continuación, $u_- = \frac{1}{2}\big(1 - \sqrt{4x + 1}\big) = 0$ y ya no se puede eliminar fácilmente. Por lo tanto, debemos volver a nuestra definición de $\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\ldots}}}$ en términos de secuencias para arbitrar entre los $u_+$ e $u_-$. Aplicando esta definición al $x = 0$, podemos ver que $u_- = 0$ es el candidato que sea elegido esta vez no $u_+ = 1$. Esto es porque en este caso, todos los elementos de la secuencia $u_{x,n}$ cero: $$u_{x=0,1} = \sqrt{x} = \sqrt{0} = 0,\quad u_{x=0,2} = \sqrt{x + u_{x=0,1}} = \sqrt{0 + 0} = 0,\quad \ldots \text{ etc}$$
Por lo tanto, $\lim\limits_{n \to \infty}u_{x=0,n} = 0$ e $u(0) = 0$. Sin embargo, acercándose a $0$ desde la derecha, vemos que
$$\lim\limits_{x \to 0+}u(x) = \frac{1}{2}\big(1 + \sqrt{4\cdot0 + 1}\big) = 1$$ And therefore even though $u(x)$ is defined at $x = 0$, it is sadly not continuous there, let alone differentiable. So the $u$sustitución Teorema no se aplica.
En cualquier caso, hay un problema aún peor cuando se $x = 0$. Tenga en cuenta que la función que están tratando de integrar $f(x) = \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\ldots}}}$ no está definido en $x = 0$ debido a que, como hemos visto, nuestra definición de $\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\ldots}}}$ en términos de secuencias le da un $0$ cuando $x = 0$. Para que hubiera una $0$ en el denominador de $f(x)$ si que estaba permitido.
$\underline{\textit{Okay, so we have concluded so far that:}}$
Mientras su integración intervalo de $[a, b]$ satisface $0 < a \leq b$, su trabajo debería de ir a través y usted puede utilizar $u(x) = \frac{1}{2}\big(1 + \sqrt{4x + 1}\big)$ como la fórmula explícita para $u$ a expresar su final integral de la respuesta:
$$
\int_a^b \frac{dx}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\ldots}}}} = \Big[\big(1 + \sqrt{4x + 1}\big) - \ln\Big(\frac{1}{2}\big(1 + \sqrt{4x + 1}\big)\Big)\Big]_a^b
$$
$\underline{\textit{Fixing the breakdown at $x = 0$:}}$
Si usted realmente desea $x = 0$ como uno de los límites, por ejemplo,
$$
\int_0^b \frac{dx}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\ldots}}}}
$$ for $b > 0$, puede hacerlo de dos maneras, ambas conducen al mismo resultado:
Puede modificar la definición de $\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\ldots}}}$ por lo tanto: el valor predeterminado es la definición habitual a través de secuencias de si $x > 0$ e a $\frac{1}{2}(1 + \sqrt{4 \cdot 0 + 1}) = 1$ si $x = 0$. A continuación, puede utilizar de forma segura $u(x) = \frac{1}{2}\big(1 + \sqrt{4x + 1}\big)$ para todos los $x \geq 0$. Y la respuesta que obtendrá para su integral es exactamente lo que usted esperaría conectando $a = 0$ en la forma cerrada, me dio el de arriba:
$$
\big(1 + \sqrt{4b + 1}\big) - \ln\Big(\frac{1}{2}\big(1 + \sqrt{4b + 1}\big)\Big) - 2
$$
Por otro lado, usted puede en lugar de tomar una limitación integral en el mismo espíritu que nos definen $\int_0^b \frac{1}{x^2}dx$ conseguir alrededor de la singularidad de $\frac{1}{x^2}$ a $0$. Es decir, se puede definir:
\begin{align*}
\int_0^b \frac{dx}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\ldots}}}} &:= \lim_{a \to 0+}\int_a^b \frac{dx}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\ldots}}}} \\
&= \lim_{a \to 0+}\big[2u(x) - \ln(u(x))\big]_a^b
\end{align*} Esto nos lleva a la misma respuesta, porque en última instancia $\lim\limits_{a \to 0^+}u(x) = 1$.
