¿Pueden dos figuras tener la misma área, perímetro y el mismo número de segmentos tener forma diferente?

Question

Quiero hacer un algoritmo que agrupe todos los detalles que tengan la misma forma. Cada detalle está definido por su superficie y una lista de líneas de contorno.

Al principio creía que tener el mismo perímetro y la misma superficie sería suficiente, pero vi en ese enlace que es una suposición incorrecta.

Si tomo como condición adicional que las dos formas tengan el mismo número de segmentos, ¿sería suficiente? ¿O de lo contrario cómo podría comprobarlo?

El problema es que para cada detalle, pueden tener rotación o simetría.

Editar:

Gracias por sus respuestas, finalmente encontré una forma de resolver el problema (respuesta abajo)

Answer 1

En el espíritu de la respuesta sin palabras a la pregunta vinculada:

Answer 2

Inspirado en la respuesta de Hagen von Eitzen, un par particular de tetrominos proporciona otro contraejemplo (mínimo entre politetrominos):

Answer 3

No, todavía no es suficiente. Incluso para los cuadriláteros no es suficiente. Tomemos un rombo con lados $1,1,3,3$ y el ángulo entre los dos $1$ es un ángulo recto. El perímetro es $8$ y el área es $\frac 12(1+\sqrt{17})$. Ahora tomemos un rombo con lados de $2$. También tiene un perímetro de $8$ y puedes elegir el ángulo para que las áreas coincidan. Es aún peor para más lados. El área y el perímetro son solo dos restricciones, mientras que hay muchos grados de libertad.

Answer 4

Posiblemente el contraejemplo más simple: forma dos lados de un triángulo con segmentos de línea de longitud desigual. En una versión, reflejarlo. En la otra, rotarlo 180°.

Answer 5

¡Bueno, finalmente logré hacer eso, pero tomó más tiempo del esperado :

Mi forma está definida por una lista de elementos Contour, Contour está definido por 2 puntos y un radio. Si es un segmento entonces el radio=0, si es un arco, el radio es positivo si giro en dirección trigonométrica, negativo si es en la dirección opuesta).

Hago una primera verificación, comprobando si las áreas son iguales (solo para identificar más rápido si las formas son iguales o no).

Para cada forma, recorro cada segmento(o arco de círculo) en sentido horario y devuelvo 3 resultados :

• Lista de las longitudes de los segmentos(solo Pitágoras, no se verifican los radios)
• Lista de radios de cada segmento/arco
• Lista de ángulos entre cada segmento y el segmento consecutivo

Luego puedo compararlos (tengamos en cuenta que comienzo desde el mismo punto en cada figura). En C# simplemente hice un bucle intentando empezar desde diferentes puntos.

Si las 3 listas son iguales, esto significa que las formas son iguales y sin rotación.

Luego, para el problema de simetría, simplemente recalculare las 3 listas anteriores para la segunda forma, pero recorriendo los contornos en dirección opuesta, si los resultados son iguales (los ángulos y los radios solo serán de signo opuesto), entonces es la misma forma con simetría.