He ojeado el libro de Tao sobre la Teoría de la Medida, y son quizás los mejores libros de matemáticas que he visto. Además de la presentación extremadamente clara y motivada, la principal característica del libro es que no hay una gran lista de ejercicios al final de cada capítulo; los ejercicios están dispersos a lo largo del texto, y realmente son fundamentales para desarrollar la teoría.
Pregunta: ¿Qué otros libros de matemáticas están escritos en este estilo, o qué otros autores escriben de esta manera? Estoy abierto a cualquier campo de las matemáticas, ya que utilizaré esta pregunta en el futuro como referencia.
Esa era la pregunta; lo que sigue es sólo la razón por la que creo que el estilo de Tao es tan genial.
- Cuando llegas a un ejercicio, sabes que estás preparado para él. No hay ninguna duda en el fondo de tu mente de que "tal vez no he leído lo suficiente del capítulo para resolver este ejercicio"
- Del mismo modo, no hay una mala sensación de "quizás no debía usar este teorema más avanzado para este ejercicio, quizás debía hacerlo a partir de las definiciones básicas pero no puedo". Hace que todo parezca "juego limpio"
- Hace difícil ser un lector pasivo
- Hace que te involucres en el desarrollo de la teoría, como si estuvieras viviendo en 1900 y tratando de desarrollar estas cosas por primera vez
Creo que puedes conseguir un efecto similar con casi cualquier otro libro, si intentas demostrar cada teorema por ti mismo antes de leer la demostración y cosas así, pero al menos para mí hay algunas barreras psicológicas severas que me impiden hacerlo. Por ejemplo, si intento demostrar un teorema sin leer la demostración, siempre tengo la duda de que "esta demostración puede ser demasiado difícil, no se espera que el lector llegue a esta demostración". En el libro de Tao, las pruebas se dejan conscientemente para ti, así que sabes que puedes hacerlo, lo que es un gran estímulo.
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@cmk ¡Gracias! Como ya he comentado, me interesan los libros de cualquier campo; sólo lo he especificado a Álgebra por miedo a que la pregunta se cierre por ser demasiado amplia.
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Personalmente me gustaría algo así para la topología algebraica. ¿Alguien conoce un libro de este estilo para este campo?
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@Cornman: Hatcher es genial. Si quieres algo más o menos al mismo nivel general de Hatcher pero un poco más específico, "Differential Forms in Algebraic Topology" de Bott y Tu es el libro de texto de matemáticas mejor escrito que he encontrado sobre cualquier tema.
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@anomaly Gracias. Ambos libros parecen existir en internet. El libro de Hatcher es muy conocido, pero nunca le he echado un gran vistazo. Es realmente del estilo mencionado. El libro de Bott y Tu, me interesa, pero un breve vistazo a la introducción revela, que podría ser demasiado avanzado, para sólo recogerlo. ¿Qué hay que saber cuando se intenta leerlo? Empieza directamente con el complejo de De Rahm, sin desarrollar formas diferenciales, como parece.
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@Cornman: Probablemente sólo análisis en colectores, para tratar las formas diferenciales. (Hatcher se ocupa de la categoría CW; Bott y Tu se quedan sobre todo en la categoría de los colectores lisos, al menos hasta que entran en los espacios de Eilenberg-MacLane). Si la memoria no me falla, hay menos álgebra homológica en Bott y Tu (por un lado, gran parte de ella se hace sobre $\mathbb{R}$ ); en Hatcher, probablemente deberías estar al menos familiarizado con los módulos para el capítulo sobre cohomología. En ambos casos, debe estar familiarizado con la topología básica de conjuntos de puntos de grado.
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También, para Hatcher: Presta mucha atención al apéndice sobre los complejos CW. Es probablemente la curva de aprendizaje más pronunciada del libro, pero puedes entrar y salir de ese apéndice mientras lees la parte principal del libro si no quieres recorrerlo todo de una vez. Sin embargo, es probable que te sientas cómodo con él al principio del capítulo sobre homología, y facilita el capítulo sobre el grupo fundamental.
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El hecho de que los ejercicios se intercalen frente al final del capítulo no es necesariamente una buena característica, ya que puede dar demasiado de una pista sobre los métodos de encuentro que debe aplicar. Más adelante, cuando te enfrentes a problemas de investigación en la naturaleza, no tendrás esas muletas, lo que significa que puedes estar menos preparado de lo que estarías usando un libro de texto que te destete antes de esos contextos artificiales.
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@BillDubuque Cierto; sin embargo, siento que es diferente cuando los ejercicios son sobre la construcción de la propia teoría. Además, lo que hago es usar el libro de Tao para aprender la teoría, y luego hacer problemas al azar de otros libros que parecen interesantes. Pero de todos modos, no tengo ninguna duda de que en el momento actual, es mucho mejor para mí tener un libro como el de Tao, por las razones psicológicas que mencioné en el OP, y por la siguiente razón. No sé por qué, pero cuando leo muchos otros libros de texto, en los que se dan todas las pruebas de forma muy limpia, es precisamente cuando me siento "encajonado"...
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...siento que debo usar exactamente los teoremas/ideas de ese capítulo, y hacer cualquier otra cosa sería "hacer trampa". Por otro lado, cuando leo el libro de Tao, el estado mental es más como "este es un resultado que realmente quiero tener, no importa el costo". Por supuesto, todo es una cuestión de psicología, pero me parece muy difícil controlar estos sentimientos. ¿Está usted familiarizado con lo que estoy hablando? Si es tan amable, me interesaría mucho conocer su punto de vista si ha experimentado (o ha oído hablar de otros que hayan experimentado) este tipo de obstáculos psicológicos.
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A mí también me gusta este estilo: Topología Ilustrada.
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@PeterSaveliev Gracias, he echado un vistazo a su página web y tiene muy buena pinta. Espero poder reunir el dinero algún día para comprar un ejemplar.