Sobre$\mathbb{F}_2$, encuentre una matriz$5\times 5$ de orden 31.

Question

Entonces descubrí que $x^5+x+1$ es irreducible sobre $\mathbb{F}_2$ y produje el cociente, un campo de orden $32$ . Ahora, necesito encontrar una matriz $5\times 5$ de orden 31 sobre $\mathbb{F}_2$ . No veo la dirección a seguir aquí. ¿Podría alguien señalarme en la dirección correcta?

Answer 1

Por desgracia, Anurag eliminado su respuesta, así que no puedo comentar. Él entendió mal la pregunta, pero él sigue siendo básicamente dio la respuesta.

Propuso encontrar un generador de $g$ de $\mathbb F_{2^5}^× = \mathbb F_{32}^×$, que es un grupo de orden $31$ y, a continuación, utilizar la matriz diagonal $gI$, lo que sería una matriz con coeficientes en $\mathbb F_{2^5}$, no $\mathbb F_2$.

Pero en lugar de eso, usted puede tomar cualquier $\mathbb F_2$-base de $\mathbb F_{2^5}$ y calcular la matriz de transformación de $g$ como $\mathbb F_2$-lineal mapa de $\mathbb F_{2^5} → \mathbb F_{2^5}$, correspondiente a dicha base. Esto da como resultado una matriz de la misma muliplicative orden como $g$, que es de orden $31$.

Por último, desde el $31$ es primo, cualquier elemento no trivial de $\mathbb F_{2^5}^×$ es un generador de él, por ejemplo, $[x]$ sí. El uso de $[x]^5 + [x]^2 + 1 = 0$, su matriz de transformación para la base $1, [x], …, [x]^4$ es fácil de calcular.

Answer 2

Tome la matriz compañera del polinomio irreducible $x^5+x^2+1$ (gracias @Jyrki Lahtonen): $$ A = \ pmatrix {0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0}. $$

Answer 3

Las otras respuestas muestran lo que podría hacer para obtener una matriz de orden 31 sobre $\mathbb{F}_{2^5}$ , suponiendo que tenga un polinomio irreducible para construir $\mathbb{F}_{2^5}$ . El problema que está teniendo probablemente se deba al hecho de que $x^5+x+1$ no es realmente irreducible sobre $\mathbb{F}_2$ : se factoriza como $(x^2+x+1)(x^3+x^2+1)$ .