¿Cuál es la definición más común y apropiada de tensor?

Question

El tensor puede considerarse como vectores de generalización, pero el tensor se describe de muchas maneras, a veces una serie de números.

¿Cuál es la definición más común y apropiada de tensor?

Answer 1

Estoy a favor de la definición abstracta de un tensor espacio como un espacio vectorial cociente.

Definimos el producto tensor de vector speces $V$ e $W$ sobre una base común de campo como el cociente de espacio vectorial: $$V \otimes W := F(V\times W)/\sim$$ donde $F(Z)$ es un vector libre del espacio generado por los elementos de $Z$, e $\sim$ es el minimimal equivalencia relación tal que

• $(v,w)+(v',w) \sim (v+v',w)$ e $(v,w)+(v,w') \sim (v,w+w')$
• $(\lambda v, w) \sim \lambda(v,w) \sim (v,\lambda w)$

Esta definición puede ser generalizado para definir un producto tensor de número arbitrario de espacios vectoriales. Un tensor es un elemento de un tensor de espacio. Definimos $v\otimes w := [(v,w)]_\sim$

Me gusta esta definición porque de ella inmediatamente siga las propiedades aritméticas de los tensores:

• $(v\otimes w)+(v'\otimes w) = (v+v')\otimes w$ e $(v\otimes w)+(v\otimes w') = v\otimes (w+w')$
• $(\lambda v)\otimes w = \lambda(v\otimes w) = v \otimes (\lambda w)$

También muestra que un producto tensor está definida de forma única e independiente de las bases de los espacios vectoriales. Pero dadas las bases específicas de $V$ e $W$, se puede construir fácilmente un isomorfismo entre el abstracto producto tensor y la matriz de números. Sólo tenemos que recordar que este isomorfismo es la base-dependiente.