He leído que no es necesario que el momento angular y la velocidad angular sean paralelos, pero es necesario que el momento lineal y la velocidad lineal sean paralelos. ¿Cómo es esto correcto?
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Frank Waller
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Tenga en cuenta que esta respuesta, como las etiquetas de la pregunta, es sólo centrarse en la mecánica Newtoniana.
La definición de momento lineal $\mathbf p$ se expresa en términos de la velocidad lineal $\mathbf v$utilizando $$\mathbf p=m\mathbf v$$ Desde $m$ es sólo una cantidad escalar, los vectores $\mathbf p$ e $\mathbf v$ son obviamente paralelo. es decir, $$p_x=mv_x$$ $$p_y=mv_y$$ $$p_z=mv_z$$
Sin embargo, el momento angular $\mathbf L$ está relacionada con la velocidad angular de la $\boldsymbol \omega$por $$\mathbf L=\mathbf I\boldsymbol\omega$$
donde $\mathbf I$ es el momento de inercia del tensor. Esto está explícitamente escrito
$$ \begin{bmatrix} L_x\\L_y\\L_z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\ I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\ I_{zx}&I_{zy}&I_{zz} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \omega_x\\\omega_y\\\omega_z \end{bmatrix} $$ O cada componente escrito: $$L_x=I_{xx}\omega_x+I_{xy}\omega_y+I_{xz}\omega_z$$ $$L_y=I_{yx}\omega_x+I_{yy}\omega_y+I_{yz}\omega_z$$ $$L_z=I_{zx}\omega_x+I_{zy}\omega_y+I_{zz}\omega_z$$
Esto muestra que, en general, $\mathbf L$ e $\boldsymbol\omega$ no son paralelas. Tenemos algo más complicado que en el caso lineal, ya que cada componente del vector momento angular depende de la velocidad angular de los componentes.
Sin embargo, esta complejidad no impide que nuestros dos vectores de ser paralelas. Podemos determinar cuando están en paralelo por mirar a la ecuación $$\mathbf L=\mathbf I\boldsymbol\omega=I\boldsymbol\omega$$ donde $I$ es una cantidad escalar. Lo que esto significa es que $\boldsymbol\omega$ necesita ser un autovector de $\mathbf I$ a fin de $\mathbf L$ e $\boldsymbol\omega$ a ser paralelas. Tenga en cuenta que esto es generalmente lo que usted encuentra en su introducción a la física de las clases. Usted, sin saberlo, elegir los ejes de tal manera que en el momento de tensor de inercia es la diagonal y su velocidad angular es sólo a lo largo de un único vector propio (generalmente se toma a lo largo del eje z). Por ejemplo, para un cilindro de radio $R$, la altura de la $H$, y la masa de $M$ rotación sobre su eje central alineado con el eje z, tenemos $$ \begin{bmatrix} L_x\\L_y\\L_z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \frac{1}{12}M\left(3R^2+H^2\right)&0&0\\ 0&\frac{1}{12}M\left(3R^2+H^2\right)&0\\ 0&0&\frac12MR^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\\0\\\omega_z \end{bmatrix} $$ Por lo tanto, nos encontramos con la simple $$\mathbf L=L_z\hat z=I_{zz}\omega_z\hat z=\frac12MR^2\omega_z\hat z$$ o incluso podrías ver en una introducción a la física de la clase sólo $$L=\frac12MR^2\omega$$
Como una pequeña nota, la razón por la que las cosas se vuelven mucho más complicadas con las rotaciones, es que el momento angular no sólo depende de la masa del objeto, sino también la forma en que la masa está distribuida. Esto es evidente a partir de la definición de momento angular para un punto de partícula $\mathbf L=\mathbf r\times\mathbf p$
Sin embargo, si nos fijamos en un extenso cuerpo del impulso que acabamos de empezar $$\mathbf p_T=m_T\mathbf v_{\text{com}}$$ donde la $T$ subíndice significa "total" y "com$ es el centro de la masa. Por lo tanto, todavía estamos con un escalar masa en lugar de un tensor.
WetSavannaAnimal aka Rod Vance
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Las otras respuestas que dicen que la diferencia surge porque hay un tensor de inercia en el caso de rotación son todos perfectamente correcto, pero creo que podemos ir más profundo y más intuitivo que esto y decir:
Traducciones de desplazamiento. Las rotaciones no. Esa es la razón fundamental por la diferencia. Y es que la forma en que estos dos comportamientos diferentes a luz sobre el teorema de Noether da raíz a la diferencia entre el momento lineal, con su sencillo, escalar varias relación con la velocidad y el momento angular, con sus más general de transformación lineal de la velocidad angular del vector.
En realidad, la frase "las Traducciones de desplazamiento. Las rotaciones no" es un poco simplista e impreciso. Pero está muy cerca de ser exacta. Para ser más precisos, uno diría que las rotaciones de la forma más complicado, no conmutativa de la Mentira de grupo, mientras que las traducciones de la forma "el" tres dimensiones conmutativa de la Mentira de grupo (propiedad conmutativa de la Mentira de los grupos de una determinada dimensión son esencialmente las mismas - no puede ser un topológico diferencia en que las condiciones mutuamente desplazamientos de uno de los grupos de parámetros puede ser compacto o no, pero de la Mentira de álgebra punto de vista son todos exactamente el mismo, y del teorema de Noether solo se ve influenciado por la Mentira de álgebra, no por el grupo de topología).
Recordemos que la razón de ser de angular y momento lineal - lo que los hace útiles los conceptos - es que ellos se conservan las cantidades de un sistema físico (en ausencia de fuerzas externas). Y, aunque el teorema de Noether no es el único mecanismo que da lugar a cantidades conservadas en física, es en este caso. Por lo tanto, si queremos fundamental, intuitiva comprensión de esta pregunta, debemos mirar cómo el teorema de Noether juega en los dos casos.
Tomemos la expresión de Wikipedia para la conserva de Noether actual:
$$\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \cdot \dot{\mathbf{q}} - L \right) T_r - \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \cdot \mathbf{Q}_r\tag{1}$$
Este es un muy físico de la ecuación y las necesidades de explicación si usted no está familiarizado con su notación y el lenguaje técnico. Noether del teorema establece que si el Lagrangiano de un sistema de tiempo-traducción-invariante y es invariante con respecto a un continuo, de un grupo de parámetros de las transformaciones en el sistema generalizado de las coordenadas, entonces no es una conserva de cantidad para cada uno de los parámetros grupo, llamado a Noether cargo. Por ejemplo: las rotaciones del sistema de coordenadas alrededor de un eje - la rotación de la magnitud puede ser fácilmente varía con el ángulo de rotación - o traducciones a lo largo de una determinada dirección de la coordenada de origen, que están parametrizados por un 1continuous firmado valor de la distancia. En (1), $\mathbf{Q}_r$ es el "generador" de la transformación continua en cuestión (se explica más adelante). La primera parte de (1) - los bits a la izquierda de $T_r$, tiene que ver con la transformación continua de la traducción de la hora de coordinar, y no es importante para las presentes consideraciones. Esto da lugar a la energía como un c1onserved cantidad. Así que nos fijamos en la parte que es distinto de cero para las transformaciones (en el no-tiempo de coordenadas) para los que estamos interesados en:
$$\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} \cdot \mathbf{Q}_r\tag{2}$$
Como alguien versado en la mayor Mentira de la comprensión teórica de estas cuestiones, me gustaría escribir la ecuación anterior más a mi gusto como sigue:
$$\mathbf{Q}_r \frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}} = \mathbf{Q}_r \, \mathbf{p}\tag{3}$$
donde $\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}}$ es un vector cuyas componentes son las generalizado momenta $p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}$ correspondiente a la generalización de las coordenadas $p_i$ de la descripción Lagrangiana. En la de arriba, $\mathbf{Q}_r$ es la matriz de la Mentira álgebra miembro cuando la Mentira del grupo en cuestión actúa en la generalización de las coordenadas.
Por lo tanto, vamos a ver cómo (3) filtra hacia fuera. Si nuestro Lagrange es independiente de la generalización de las coordenadas a sí mismos, entonces la matriz de la traducción en el $i^{th}$ dirección es simplemente diagonal con ceros a lo largo de su diagonal principal, excepto en el $i^{th}$ posición. So (3) dice que el $i^{th}$ componente de la generalizada impulso $\mathbf{p}$ se conserva. O, repitiendo el argumento de cada una de las $i$, la $\mathbf{p}$ sí se conserva. Por lo que la situación es muy simple para las traducciones en las coordenadas de sí mismos.
Sin embargo, si el concepto de rotación de la generalizada coordenadas es significativa, y, si además, el Lagrangiano es invariante con respecto a las rotaciones en la generalización de las coordenadas, entonces la matriz de $\mathbf{Q}_r$ en (3) es el álgebra de la Mentira miembro de $SO(N)$ correspondiente a la rotación sobre el eje en cuestión, a veces la distancia $r$ a partir de la coordenada de origen (esta es la $N$dimensiones de la generalización correspondiente para el cálculo vectorial operador $\mathbf{\omega}\times\mathbf{r}$ en 3 dimensiones). Así que, sin asumir nada acerca de las expresiones angular o momento lineal, aparte de que nuestra Lagrangiano es invariante a traslaciones y rotaciones, podemos ver que las expresiones para la conserva lineal de impulsos son simplemente la generalización de los impulsos propios, mientras que la conserva angular de los impulsos, por dent de los más complicados de la Mentira de álgebra para $SO(N)$ son operaciones de matriz en la generalización de los impulsos.
Si suponemos además que el impulso generalizado es $m_i\,r\, \mathbf{Q}_r \dot{\theta}_r$ (la $N$-dimensiones de la generalización correspondiente para el cálculo vectorial expresión $\mathbf{\omega}\times \mathbf{r}$ en 3 dimensiones), entonces nuestra Noether carga es de:
$$m \,r^2 \,\mathbf{Q}_r^2 \dot{\theta}_r\tag{5}$$
y esta cantidad se conserva para cada coordinar $r$. Esto es fácilmente demostrado que significan la misma cosa como la conservación de la $\mathbf{L} = \mathbf{I}\,\mathbf{\omega}$ cuando se acumulan a lo largo de todas las partículas de un cuerpo rígido.
En realidad, creo que mi respuesta de arriba es la razones fundamentales para Aaron Stevens excelente intuición física::
Como una pequeña nota, la razón por la que las cosas se vuelven mucho más complicadas con las rotaciones, es que el momento angular no sólo depende de la masa del objeto, sino también la forma en que la masa está distribuida.
Dan Herbert
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La masa es una magnitud escalar, pero la masa momento de inercia es un tensor. Como resultado, un escalar sólo puede cambiar la magnitud de un vector, pero un tensor puede cambiar tanto la magnitud y la dirección.
De álgebra lineal:
- $\boldsymbol{p} = m \boldsymbol{v}$ es siempre paralelo a $\boldsymbol{v}$ para $m \neq 0$
- $\boldsymbol{L} = \rm{I}\, \boldsymbol{\omega}$ sólo es paralelo al $\boldsymbol{\omega}$ es un autovector de $\mathrm{I}$. Un caso especial que existe para simétrica objetos como esferas y cubos donde $\mathrm{I}$ es un escalar múltiples de la matriz de identidad.
razeh
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Momento lineal se define como
$$\vec{p}=m\vec{v}$$
donde $m$ es un escalar (es decir, sólo un número). La multiplicación de un vector por un escalar no cambia su direcction.
En contraste, el momento angular se define como
$$\vec{L}=\overset{\leftrightarrow}I\vec{\omega}$$
donde $\overset{\leftrightarrow}I$ es un tensor (es decir, algo parecido, pero no exactamente, una matriz). La multiplicación de un vector por un tensor puede, y a menudo lo hace, cambiar la dirección del vector.
