¿Cuándo se puede reescalar un campo vectorial para tener una divergencia constante?

Question

Supongamos que $X$ es un campo vectorial uniforme en $\mathbb{R}^n$ que tiene divergencia $$\nabla \cdot X < 0$$ everywhere. Does there always exist a positive smooth "rescaling" function $ g: \ Bbb R ^ n \ to (0, \ infty)$ such that $% PS

( Esta pregunta parece un poco relacionada, pero diferente).

Answer 1

No, esto no funciona en todas las dimensiones de la $n \geq 1$: Considere cualquier negativa, estrictamente decreciente ($C^1$) de la función de $f$ ($f(x) = -\exp x$ va a hacer), y tome $X := f \partial_{x^1}$. Entonces, la condición de $\nabla \cdot (g X) = 0$ es $(g f)' = -1$, y la integración y reorganización de da que $$g = -\frac{x^1 - j(x^2, \ldots, x^n)}{f}$$ for some $j$. But $g(j(x^2, \ldots, x^n), x^2, \ldots, x^n) = 0$, una contradicción.

El ejemplo anterior sugiere, también, que la condición mundial en el signo de $g$ no es muy natural. Pero si dejamos caer esta hipótesis, es decir, permitir a $g$ tomar en valor no positivo de valores, la declaración parece ser falsa. (Es cierto, sin embargo, en el caso de $n = 1$---ver abajo). De hecho, el ejemplo de su respuesta a la pregunta vinculada parece ser un contraejemplo aquí también: Tome $n := 2$ e $$X := \sin x \,\partial_x - 2 y \,\partial_y .$$ A continuación, la ampliación de la ecuación $$\nabla \cdot (g X) = -1$$ en términos del marco normativo que da la p.d.e. $$g_x \sin x + g \cos x - 2 y g_y - 2 g = - 1 .$$ La evaluación en $y = 0$ y denotando $h(x) := g(x, 0)$ a continuación se da la junta.d.e. $$h' \sin x + h \cos x - 2 h = -1 .$$ Este o'.d.e. es singular en impares múltiplos de $\pi$. La única solución de esta ecuación que es continua en $x = \pi$ es $$h(x) = \frac{\sin(x) (x - \pi) + 2 (\cos x + 1)}{(\cos x + 1)^2} \sim \frac{1}{3} + \frac{1}{30} (x - \pi)^2 + O((x - \pi)^4)$$ (where we've implicitly removed the singularity on the r.h.s. of the equality), but this function does not extend continuously outside the interveral $(-\pi, 3 \pi)$, so there is no function $g$ defined on all of $\Bbb R^2$ satisfacer la condición.

Por otro lado, ciertos ajustes de la declaración son verdaderas:

1. Si $n = 1$, a continuación, $X = f(x) \partial_x$ y por hipótesis de $\nabla \cdot X = f'(x) < 0$. Entonces, la condición $$\nabla \cdot (g X) = -1$$ becomes $$(g f)' = -1,$$ and integrating gives $$g f = -x + C .$$ Since $f$ is strictly decreasing, it has at most one zero. If it does, say, at $x_0$, then setting $C = x_0$ we can take $g = -\frac{(x - x_0)}{f}$---by hypothesis the singularity of $g$ at $x_0$ is removable. If $f$ has no zero, we can take $g = -\frac{(x - C)}{f}$ for any $C$.

2. Siempre hay soluciones locales $g$ alrededor de cualquier punto de $p$ a que $X$ no se desvanecen. Más precisamente, si $X_p \neq 0$ para algunos $p \in \Bbb R^n$, entonces podemos elegir coordenadas locales $(y^a)$ cerca de $p$ en que $X = \partial_{y^1}$. La forma de volumen en estas coordenadas es $v \, dy^1 \wedge \cdots \wedge dy^n$ por alguna función positiva $v$, y la condición de $\nabla \cdot (g X)$ se convierte en $$\frac{\partial}{\partial y^1}(g v) = - 1,$$ which admits the solutions $$g = -\frac{y^1 - j(y^2, \ldots, y^n)}{v} ,$$ where $j$ is an arbitrary $C^1$ de la función.

Answer 2

Desde que escribí mi primera respuesta, he encontrado algo de información adicional sobre la cuestión a la que he añadido al final.

Travis ya ha señalado dos obstáculos para encontrar una solución. He aquí una tercera obstrucción que es local y no requieren $g>0$.

Vamos a empezar con un ejemplo en la dimensión 2. Deje $X(x,y)=[3y+1-e^x, 3x+1-e^y]$. Esto ha $\nabla\cdot X=-e^x-e^y$.

Nota: primero que en el origen $O=(0,0)$ ha $X(O)=[0,0]$, e $\nabla\cdot X\big|_O=-2$.

PD: voy a ser en su mayoría de uso de la notación $\cdots\big|_O$ a indicar evaluación de $\cdots$ en el punto de $O$ en lugar de eg $X(O)$.

Si asumimos $\nabla\cdot(gX)=g\nabla\cdot X+X\cdot\nabla g=-1$ para algunos $g(x,y)$, la evaluación en el origen da $g(O)=-1/2$.

Ahora, calcular las derivadas de $\nabla\cdot(gX)=-(e^x+e^y)g+(3y+1-e^x)g_x+(3x+1-e^y)g_y$ el origen: $$ \frac{\partial}{\partial x}\nabla\cdot(gX)\big|_O = -g-3g_x+3g_y\big|_O,\quad \frac{\partial}{\partial y}\nabla\cdot(gX)\big|_O = -g+3g_x-3g_y\big|_O. $$ Desde $\nabla\cdot(gX)$ es constante, estos derivados debe ser igual a cero, pero que requiere de $g(O)=0$, que no es el caso.

¿Qué causó el problema puede ser explicada en general. Vamos a usar coordenadas $(x_i)$ y la notación $f_{,i}=\partial f/\partial x_i$. $X=(X_i)$ es el vector de campo, por lo que requieren $\nabla\cdot X=\sum_i X_{i,i}<0$ (o simplemente no cero).

Suponga que $X(P)=0$ a un punto de $P$: por ejemplo, el origen como en el ejemplo.

Ahora, se requiere que $g$ es una función de manera que $\nabla\cdot(gX)=-1$ (o cualquier otra constante). Por escrito, $$ \nabla\cdot(gX) = \sum_i gX_{i,i}+g_{,i}X_{i} = -1. $$ La evaluación en $P$ da $g(P)=-1/a$ donde $a=\nabla\cdot X\big|_P$.

Siguiente, se diferencian con respecto a $x_j$: $$ \frac{\partial}{\partial x_j}\nabla\cdot(gX) = \sum_i gX_{i,ij}+g_{,j}X_{i,i}+g_{,i}X_{i,j}+g_{,ij}X_{i} = 0. $$ La evaluación en $P$da $$ ag_{,j}+\sum_i g_{,i}X_{i,j}\big|_P = X_{i,ij}/a\big|_P. $$ Sin embargo, esto puede ser escrita como una ecuación de matriz: $$ \nabla g\cdot(aI+DX)\big|_P = \nabla(\nabla\cdot X)/a\big|_P $$ donde la matriz $DX$ está dado por $DX_{ij} = X_{i,j}$. Si la matriz $aI+DX$ es singular y el vector $\nabla(\nabla\cdot X)$ no está en su imagen, no hay ninguna solución para $\nabla g$ a $P$.

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Primero vamos a escribir $\nabla\cdot(gX)=g\nabla\cdot X+X\cdot\nabla g$. Si tomamos un camino de $\gamma(s)$ que sigue el flujo de $X$, es decir, $\gamma'(s)=X(\gamma(s))$, podemos reescribir la ecuación diferencial a lo largo de $\gamma$como $$ g(\gamma(s))\cdot(\nabla\cdot X)(\gamma(s))+\frac{d}{ds}g(X(\gamma(s)). $$ Por lo tanto, si dejamos $f(s)=(\nabla\cdot X)(\gamma(s))$ y definen $h(s)=g(\gamma(s))$, obtenemos la ecuación diferencial $h(s)f(s)+h'(s)=-1$.

Parece familiar? Este es básicamente el mismo que Travis había. Resolver la ecuación diferencial en $h$, y se puede encontrar una solución positiva, o usted puede encontrar que la solución que necesariamente se convierte en negativo, dependiendo $f(s)$ y en el intervalo de $s$ para que la curva de $\gamma$ se define: cerrado ($[a,b]$), medio cerrados, o abiertos ($(-\infty,+\infty)$).

Tenga en cuenta que el flujo, $X$, también puede dar lugar a un periódico curvas: supongo que esto a menudo se conoce como curvas cerradas, pero estoy evitando que el plazo para que no se confunda con una curva definida sobre un intervalo cerrado. Esto pondría a las condiciones de contorno en $h$, aunque aún sería solucionable.

Mientras uno se puede resolver por $g$ a lo largo de cada curva, puedo ver cuatro principales obstáculos, tres de los cuales ya hemos tocado.

En primer lugar, la solución para $g$ puede cambiar de signo. Este fue el caso de Travis primera contra-ejemplo en 1 dimensión, que es el mismo a lo largo de un flujo de la curva de $\gamma$ en cualquier dimensión superior.

El segundo está relacionado con el primero, y creo que a Travis segundo ejemplo. Usted puede tener una solución a lo largo de un flujo de la curva de $\gamma$ donde la solución de $h(s)$ va a la $\pm\infty$ como $s$ va a la $\pm\infty$, pero donde la curva tiene final-puntos: es decir, $\gamma(\pm\infty)$ termina en algún punto en el que $X(P)=0$.

Ambas son condiciones a nivel global: es decir, usted puede encontrar soluciones locales, pero no se pueden combinar en soluciones globales sin cambio de signo o infinitos.

La tercera corresponde a mi contra-ejemplo, que es una condición local. Soluciones para diferentes curvas pueden encontrar en puntos de $P$ donde $X(P)=0$ sin combinar en una solución a $P$. (Realmente no he sentó a trabajar esta cosa a través correctamente.)

Si no hay ningún problema en $X=0$ puntos, por ejemplo, si no existen tales puntos, y no nos preocupamos sobre el signo de $g$, podemos hacer que las soluciones de flujo a lo largo de curvas, y en las regiones locales, lo que podría unir en una solución global. En el caso más simple, si usted puede encontrar un sistema de coordenadas $x=(x_1,\ldots,x_n)$ donde las curvas de flujo de $\gamma(s)=(s,a_2,\ldots,a_n)$, todo lo que se debe hacer es resolver a lo largo de cada flujo de la curva y asegúrese de que la solución varía suavemente con el conjunto completo de coordenadas. Puede haber limitaciones internacionales que volver a morder, pero no puedo ver nada en concreto.

Esto nos lleva a la cuarta potencial obstuction, que es uno sólo he especulado, y en realidad no puede conducir a una obstrucción, pero es tan interesante que yo pensé que mencionar de todos modos. Si el flujo, $X$, es caótico (en cierta región del espacio), el conjunto de los periódicos de flujo de las curvas de ser denso. De hecho, cada uno de los periódicos de flujo de la curva en la región, también se denso. Sospecho que esto sería poner restricciones severas en $h(s)$ (a menos que sea constante): por ejemplo, podría haber global de las restricciones impuestas en un único flujo de la curva como se pone arbitrariamente cerca de sí mismo. Sin embargo, esto es sólo una especulación: no he tenido tiempo para mirar más de cerca esta.

También me pregunto acerca de otros locales obstrucciones, pero como Travis ya ha demostrado que, lejos de los puntos de con $X=0$, hay soluciones locales.