Los racionales no son localmente compactos y la compacidad

Question

Me preguntaba si alguien puede ayudarme con los siguientes problemas:

1. Demostrar que $\mathbb{Q}$ no es localmente compacto.
2. Demostrar que si $X$ es Lindelöf y $Y$ es compacto, entonces $X \times Y$ es Lindelöf.

Creo que tengo 1, aquí está mi trabajo:

Supongamos que $\mathbb{Q}$ es localmente compacto y dejemos que $x \in \mathbb{Q}$ . Entonces, por definición de compacidad local (para espacios Hausdorff) podemos encontrar un conjunto abierto $U \subset \mathbb{Q}$ tal que $\overline{U}$ es compacto. Como los intervalos abiertos forman una base para la topología habitual, entonces podemos encontrar un intervalo abierto $(a,b)$ tal que $x \in (a,b) \cap \mathbb{Q} \subset U$ . Entonces observe $[a,b] \cap \mathbb{Q} \subseteq \overline{U}$ . Pero $[a,b] \cap \mathbb{Q}$ es cerrado por lo que tenemos un subconjunto cerrado del conjunto compacto $\overline{U}$ Por lo tanto $[a,b] \cap \mathbb{Q}$ es compacto. Por tanto, basta con demostrar que este conjunto no es compacto. Ahora escoge un número irracional $z \in (a,b)$ entonces podemos encontrar una secuencia $\{x_{n}\}$ de consistir en números racionales en $(a,b)$ tal que $x_{n} \rightarrow z$ . Pero $[a,b] \cap \mathbb{Q}$ es compacto, así que es secuencialmente compacto. Por lo tanto, la secuencia $\{x_{n}\}$ debe tener una subsecuencia que converja a un punto en $(a,b) \cap \mathbb{Q}$ lo cual es imposible porque toda subsecuencia converge a $p$ y $p$ es irracional. ¿Esto está bien?

2) Atascado en esta por un tiempo. ¿Cómo probar esto?

Answer 1

El enunciado del segundo teorema debería recordar el hecho de que el producto de dos espacios compactos es compacto. De hecho, se puede adoptar la demostración de este teorema que se da en el capítulo 3 de Munkres para demostrar tu afirmación. Así es como se hace.

Dejemos que $\mathcal{U}$ sea una cubierta abierta de $X\times Y.$ Entonces, para cada $x$ en $X$ la colección $\mathcal{U}$ es una cubierta abierta de $\{x\}\times Y.$ Por lo tanto, como $\{x\}\times Y$ es compacto, existe para cada $x\in X$ una subcolección finita $\mathcal{U}_x$ de $\mathcal{U}$ que cubre $\{x\}\times Y.$ Elige una colección de este tipo y deja que $U_x$ sea el conjunto obtenido por la unión de los elementos de $\mathcal{U}_x.$ El conjunto $U_x$ está abierto en $X\times Y$ y contiene $\{x\}\times Y.$ Apelando una vez más a la compacidad de $Y,$ se deduce, por el lema del tubo, que para cada $x\in X$ existe un barrio abierto $N_x$ de $x$ tal que $N_x \times Y \subset U_x.$ Considere la colección $\{N_x: x\in X\}.$ Como $X$ es Lindelof, existe un subconjunto contable $I\subset X$ tal que $\{N_x: x\in I\}$ cubre $X.$ De ello se deduce que el conjunto $\bigcup_{x\in I} \mathcal{U}_x$ es una subcolección contable de $\mathcal{U}$ que cubre $X\times Y.$ Concluimos $X\times Y$ es Lindelof.