Estoy trabajando en un problema afirmando que
Encontrar todos totalidad de las funciones de $f$ que cumplan:
$|zf(z)-\sin z|\leq 1+|z|^{4/3}$ para todos los $z\in\mathbb{C}$.
Estoy atascado en este problema, pero he tenido algunos intentos:
(1):
Ya que estamos tratando con una función completa, queremos aplicar el teorema de Liouville. Sin embargo, la CARTA no es un número constante.
Por lo tanto consideramos que un disco de $D(0, R)$ para $R$ lo suficientemente grande. A continuación, para $z\in D(0,R)$, tenemos $$|zf(z)-1|\leq |zf(z)-\sin z|\leq 1+|z|^{4/3}\leq 1+R^{4/3}.$$
Por lo tanto, por el teorema de Liouville, sabemos que toda función de $$g(z):=zf(z)-1$$ es constante.
Por lo tanto, tenemos $$zf(z)-1=C,\ \text{for some constant}\ C.$$
Sin embargo, aquí viene el problema. Si continuamos, tendríamos $$f(z)=\dfrac{c+1}{z},$$
pero, a continuación, $$\lim_{z\rightarrow 0}f(z)\neq 0$$ and thus $ f(z)$ has a singularity at $z=0$ which is not removable, and thus $f(z)$ no puede ser todo.
Así, estas funciones no existen?
No creo que mi argumento aquí es correcta, ya que $g(z)$ es la única constante en un gran disco, pero no todo el plano complejo. Sin embargo, esta es la única manera que se me ocurre para tener algo de toda la función no está acotada.
Otros intentos no podían dar me una constante en un lado y una función en el otro lado.
Por ejemplo (2):
Podemos mover $|z|^{4/3}$ a la PREPA, así que tenemos $$|zf(z)-\sin z|-|z|^{4/3}\leq 1,$$ , pero luego no pude conseguir una manera de reducir la LHS, así que tenemos toda una función en el interior del complejo de la norma.
También podemos mover todo a la RHS, por lo que podemos tener algo como $$-1\leq |z|^{4/3}-|zf(z)-\sin z|\leq \Big||z|^{4/3}-|zf(z)-\sin z|\Big|\leq |z^{4/3}-zf(z)+\sin z|,$$ but this inequality does not tell us anything since the RHS must be positive, so it is absolutely larger than $-1$.
Todas las sugerencias, ideas, sería muy apreciada! Gracias.
Edit: El Conjunto De La Prueba
Esta prueba sigue exactamente de lo que Martin R sugerido. Yo soy sólo la adición de más detalles.
Definir $$g(z):=zf(z)-\sin z.$$ As $f(z)$ is entire, $g(z)$ must also be entire. Thus, for any $R>0$ and $z_{0}\in\mathbb{C}$, $g$ is holomorphic in an open set containing the closure of the disc $D(z_{0}, R)$.
Así, por Cauchy Desigualdades, tenemos $$|g^{(n)}(z_{0})|\leq\dfrac{n!\sup_{z\in \partial D}|g(z)|}{R^{n}}.$$ On the other hand, as $|g(z)|\leq 1+|z|^{4/3}$ for all $z\in\mathbb{C}$, we have $$\sup_{z\in \partial D}|g(z)|=1+R^{4/3},$$ so that $$|g^{(n)}(z_{0})|\leq\dfrac{n!(1+R^{4/3})}{R^{n}},\ \text{for all}\ z_{0}\in\mathbb{C}.$$
Tomando $R\rightarrow 0$, podemos concluir que mientras $n>4/3>1$, tenemos $|g^{n}(z_{0})|=0$ para $z_{0}\in\mathbb{C}$.
Por lo tanto, $g(z)$ es un polinomio de grado $1$, es decir, podemos escribir $g(z)$ como $$g(z)=az+b\ \text{for all}\ z\in\mathbb{C}.$$
Entonces, tenemos $$g(0)=0=b,$$ so that $$g(z)=az\ \text{for all}\ z\in\mathbb{C}.$$
Por lo tanto, $$|az|\leq 1+|z|^{4/3}\ \text{for all}\ z\in\mathbb{C}.$$
Si $z=0$, a continuación, $0\leq 1$ tiene para todos los $a$. Para $z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$, podemos dividir el $|z|$ en ambos lados, de modo que $$|a|\leq |z|^{-1}+|z|^{1/3}.$$
Para cada una de las $z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$, podemos encontrar un disco con centro en $0$ y radio de $|z|:=r$ , de modo que $z$ vive en la frontera.
Por lo tanto, la desigualdad anterior puede ser reescrito en $$|a|\leq \dfrac{1}{r}+r^{1/3}\ \text{for all}\ r>0.$$ Since this inequality holds for all $r>0$, we have $$|a|\leq\min\Big\{r>0:\dfrac{1}{r}+r^{1/3}\Big\}.$$
Para encontrar el mínimo, definir $$h(r):=\dfrac{1}{r}+r^{1/3},$$ so that $$h'(r)=-r^{-2}+\dfrac{1}{3}r^{-2/3}=r^{-2}\Big(-1+\dfrac{1}{3}r^{4/3}\Big),$$ and we have the critical point $r_{\min}=3^{3/4}$. Also, for $r>r_{\min}$, $h'(r)>0$, and $r<r_{\min}$, $h'(r)<0$.
Por lo tanto, $h(r)$ logra un mínimo local para $r>0$ a $r_{\min}$ con el mínimo local valor $$h(r_{\min})=\dfrac{4}{3^{3/4}}.$$
Por lo tanto, la función completa $f(z)$ la forma: $$f(z)=az,\ \text{where}\ |a|\leq \dfrac{4}{3^{3/4}}.$$
Me gustaría expresar mi agradecimiento a Martin R que siempre pacientemente las respuestas a mis preguntas tontas. Por favor upvote su post, tengo demasiado de él. ^ ^
