En $\mathcal{A}$ con $\forall C\in\mathcal{P}_{\infty}(\mathbb{N})\exists A\in\mathcal{A}:A\cap C\in\mathcal{P}_{\infty}(\mathbb{N})$

Question

Editar: Descubrí una respuesta por mi cuenta, ver abajo.

Denotemos $\mathcal{P}_{\infty}(\mathbb{N})=\{A\subseteq\mathbb{N}\ |\ A\text{ infinito}\}$ y sea $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{P}_{\infty}(\mathbb{N})$ tal que para todo $C\in\mathcal{P}_{\infty}(\mathbb{N})$ exista $A\in\mathcal{A}$ con $A\cap C\in\mathcal{P}_{\infty}(\mathbb{N})$. Además, supongamos que $\mathcal{A}$ es estable bajo unión finita, es decir, $A\cup B\in\mathcal{A}$ para todo $A,B\in\mathcal{A}$. ¿Es cierto que existe $N\in\mathbb{N}$ y $A\in\mathcal{A}$ tal que $\{N,N+1,...\}\subseteq A$?

Esta pregunta surgió cuando intenté caracterizar los conjuntos $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{P}_{\infty}(\mathbb{N})$ tales que una secuencia $a\in\mathbb{R}^\mathbb{N}$ converge a algún $a_\infty\in\mathbb{R}$ si y solo si $a|_{B}$ converge a $a_\infty$ para cada $B\in\mathcal{B}$. Si la afirmación en cuestión fuese verdadera, entonces implicaría que debe haber $B_1,...,B_n\in\mathcal{B}$ y $N\in\mathbb{N}$ con $\{N,N+1,...\}\subseteq B_1\cup...\cup B_n$.

Intenté generalizar los conceptos que surgen aquí y al hacerlo, me di cuenta de que parece estar vinculado a una noción que nunca aprendí en clase aún pero ya había escuchado, a saber, la de un filtro. Esto se debe a que si definimos el cuasiorden $\lesssim$ en $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ por $$\forall A,B\in\mathcal{P}(\mathbb{N}):\quad A\lesssim B\iff \exists N\in\mathbb{N}:A\cap[N,\infty[\supseteq B\cap[N,\infty[,$$ entonces $\mathcal{A}$ puede extenderse a un filtro de $(\mathcal{P}(\mathbb{N}),\lesssim)$ al incluir también todos los subconjuntos de elementos de $\mathcal{A}$ en $\mathcal{A}$. El problema es que además de poder comprender la definición, no sé nada acerca de los filtros. ¿Existe un teorema o concepto que simplifique las cosas aquí?

Answer 1

Después de investigar un poco más, vi que la noción más natural a usar aquí es la de un ideal en el sentido teórico de conjuntos. De hecho, si definimos $\mathcal{A}':=\{A'\subseteq\mathbb{N}\ |\ \exists A\in\mathcal{A},F\subseteq\mathbb{N}\text{ finito}:\ A'\subseteq A\cup F\}$, entonces $\mathcal{A}'$ es un ideal de conjuntos en $\mathbb{N}$. Además, mi pregunta es equivalente a si $\mathcal{A}'=\mathcal{P}(\mathbb{N})$ (o simplemente si $\mathbb{N}\in\mathcal{A}'$).

Y en este contexto, podemos encontrar el siguiente contraejemplo: Tomemos $\mathcal{A}$ como el conjunto formado por los conjuntos infinitos de una densidad asintótica de $0$, entonces $\mathcal{A}'=\mathcal{A}\cup\{F\subseteq\mathbb{N}\text{ finito}\}$ es el ideal formado por todos los conjuntos de una densidad asintótica de $0$. Entonces si $C\subseteq\mathbb{N}$ es algún conjunto infinito, claramente podemos encontrar $A\in\mathcal{A}$ con $A\subseteq C$ y en particular $A\cap C=A\in\mathcal{P}_{\infty}(\mathbb{N})$. Pero ningún $A\in\mathcal{A}$ contiene $\{N,N+1,...\}$, ya que eso significaría que $A$ tendría una densidad asintótica de $1$.

Answer 2

No conozco la respuesta a tu primera pregunta, pero considera lo siguiente para la caracterización que estás buscando.

Sea $\mathcal{A}\subset\mathcal{P}_{\infty}(\mathbb{N})$ tal que para todo $C\in\mathcal{P}_{\infty}(\mathbb{N})$ existe un $A\in\mathcal{A}$ con $A\cap C\in\mathcal{P}_{\infty}(\mathbb{N})$.

Mostraremos que si $a=(a_{n})$ es una secuencia, entonces converge a algún $a_{\infty}\in\mathbb{R}$ si y solo si $a|_{A}$ converge a $a_{\infty}$ para cada $A\in\mathcal{A}$.

Primero supongamos que $a$ converge a algún $a_{\infty}\in\mathbb{R}$. Evidentemente, toda subsucesión de $a$ converge a $a_{\infty}$ y así $a|_{A}$ converge a $a_{\infty}$ para cada $A\in\mathcal{A}$.

Ahora supongamos que $a$ no converge a algún $a_{\infty}\in\mathbb{R}$. Entonces podemos encontrar un $C,D\in\mathcal{P}_{\infty}(\mathbb{N})$ tal que o bien $a|_{C}$ diverge a $\pm\infty$ o $a|_{C}$ converge a algún $c_{\infty}\in\mathbb{R}$ y $a|_{D}$ converge a un $d_{\infty}$ distinto. Por definición de $\mathcal{A}$, podemos encontrar $A,B\in\mathcal{A}$ tal que $A\cap C,B\cap D\in\mathcal{P}_{\infty}(\mathbb{N})$.

Si $a|_{C}$ diverge a $\pm\infty$, entonces $a|_{A\cap C}$ diverge a $\pm\infty$ y así $a|_{A}$ no converge.

Si $a|_{C}$ converge a $c_{\infty}$ y $a|_{D}$ converge a $d_{\infty}$, entonces $a|_{A\cap C}$ converge a $c_{\infty}$ y $a|_{B\cap D}$ converge a $d_{\infty}$. Se sigue que o bien $a|_{A}$ o $a|_{b}$ no convergen, o bien $a|_{A}$ converge a $c_{\infty}$ y $a|_{B}$ converge a $d_{\infty}$. Dado que $c_{\infty}\neq d_{\infty}$, encontramos que en todos los casos existen $A,B\in\mathcal{A}$ tal que o bien $a|_{A}$ o $a|_{B}$ no convergen, o bien $a|_{A}$ y $a|_{B}$ convergen a distintos valores, lo cual prueba nuestra afirmación.

Como nota final, tienes una definición incorrecta de filtros. Los filtros son cerrados bajo la intersección finita y el superset.