Para todos los números primos $p\neq 2$ , es fácil ver que $$p\equiv 1~\text{or}~3\pmod 4$$ I was wondering if it's equally likely ($ 50 \% - 50 \ $) that prime modulo $% 4$ is $ 1$ or $ 3 $ . Y si es así, ¿hay una prueba simple?
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G.P.M
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Existen infinitos números primos de los formularios de $4n + 1$ e $4n +3$.
Sin embargo, no está claro cual de las dos son más abundantes.
En 1853, de Chebyshev en una carta se indicaba que había una prueba de que el número de números primos de la forma $4n+1$ es menor que el número de números primos de la forma $4k+3$. Sin embargo, en 1914, Littlewood, mostró que Chebychev de la aserción falla infinitamente a menudo; sin embargo, no pudo precisar dónde esta primera reversión se produce.
Sin embargo, unos cuarenta años más tarde, en un equipo de búsqueda, se descubrió que el primer prime para que el $4n+1$ primos ser más abundantes que los de la $4n+3$ de los números primos es para el prime $26861$.
Esa situación no se revierte hasta el primer $616,841$.
Aunque cada uno de los prime es uno de uno de estos dos tipos infinitamente a menudo, y a pesar de Littlewood, la prueba, la densidad de cada uno de estos dos primeros tipos que yo sepa no ha sido establecida. Siendo ese el caso, sigue siendo una cuestión abierta que, dado un primer $p$, es más probable que se de un tipo que de otro.
Resumiendo los comentarios: ocurren con la misma probabilidad, pero al ser 3 mod 4 se produce más por la mayor parte (pero no por una cantidad demasiado grande). Más concretamente, si $a$ e $b$ son el número de números primos menos de $N$ 1 mod 4 y 3 mod 4 resp., entonces $$\lim_{N\to\infty}\frac{a}{b}=1$$, but it's usually the case that $\frac{a}{b}<1$. Estos son debido a que el primer número teorema de progresiones aritméticas y de Chebyshev del sesgo respectivamente.
