Métodos alternativos para resolver un sistema de una ecuación simultánea lineal no lineal

Question

Tome las ecuaciones $$x+y=5$$ $$x^2 + y^2 =13$ $

El método más básico para resolver este sistema es primero expresar la ecuación lineal en términos de una de las variables y luego sumarla en la ecuación no lineal.

Pero tengo curiosidad si hay otros métodos para resolver dicho sistema.

Answer 1

En general, el conjunto de ecuaciones:

$$\sum_{k=1}^{N}x_k^p = S_p$$

para $1\leq p\leq N$, puede ser resuelto mediante la consideración de la función:

$$f(x) = -\sum_{p=1}^N\log\left(1-\frac{x_p}{x}\right) \tag{1}$$

La expansión de la $f(x)$ alrededor de infinito está dada por:

$$f(x) = \sum_{r=1}^{\infty}\frac{S_r}{r x^r}$$

Así, podemos escribir $f(x)$ a fin de $x^{-2}$ como:

$$f(x) = \frac{5}{x} + \frac{13}{2 x^2} + \mathcal{O}\left(x^{-3}\right)\tag{2}$$

A partir de (1) se deduce que $x^2 \exp\left[-f(x)\right]$ es un segundo grado del polinomio que tiene las soluciones a medida de sus raíces. Usando (2) se sigue que:

$$\exp\left[-f(x)\right] = 1 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^2} + \mathcal{O}\left(x^{-3}\right)$$

De esto se sigue que:

$$(x-x_1)(x-x_2) = x^2 - 5 x + 6$$

Así, las soluciones se $x_1=2$ e $x_2 = 3$ y viceversa.

Answer 2

Tenemos $$(x+y)^2=13+2xy,$ $ que da $$xy=6$$ and by the Viete's theorem $ x$ and $ y $ son las raíces de la ecuación: $$t^2-5t+6=0$ $ o $$(t-2)(t-3)=0,$ $ que da el respuesta: $$\{(2,3),(3,2)\}$ $

Answer 3

Usted puede utilizar algunas simetrías (pero no estoy seguro de si el que hace la diferencia) $$ 2 x y = (x + y) ^2 - (x^2 + y^2) = 25 - 13 = 12, $$ expresar la diferencia $$ (x - y)^2 = (x^2 + y^2) - 2 x y = 1, $$ y obtener un sistema de ecuaciones lineales $$ \begin{aligned} x + y &= 5,\\ x - y &= \pm 1, \end{aligned} $$ que los rendimientos de $x = 3$ e $y = 2$ o $x=2$ e $y=3$

Answer 4

La ecuación cuadrática puede ser utilizado.

Dado:

x + y = 5, y = 5 -4

---

Dado

x^2 + y^2 = 13

entonces x^2 + (4-x)^2 = 13

y x^2 + x^2 - 10x + 25 -13 = 0

2x^2 + (-10x) + 12 = 0

---

A continuación, el co-factores son a = 2, b = -10, c = 12

y = [-b (+-) sqrt(b^2 - 4ac)]/[2a] <-- Fórmula Cuadrática

y = [-(-10) (+-) sqrt((-10)^2 - 4(2*12))]/(2*2)

y = [10 (+-) sqrt(100-96)]/4

y = [10 + 2]/4 y y = [10-2]/4

y = 12/4 y y = 8/4

y = 3 y y = 2

dado que x + y = 5

Cuando y = 3, x + 3 = 5, x = 5-3, x = 2

cuando y = 2, x+2 = 5, x = 5-2, x = 3

Respuestas: x = 3, y = 2 y x = 2, y = 3

Pruebe sus respuestas en todas las ecuaciones originales y en contra de cualquier explícita o implícita restricciones para asegurarse de que funcionen. Que hacen! (Compruebe siempre para 'extraños' respuestas.)

Answer 5

Calcular la base de Gröbner de su sistema. Vamos a empezar por escribir este con ceros a la derecha del igual signos. \begin{align*} 0 &= x+y-5 \\ 0 &= x^2 + y^2 - 13 \text{.} \end{align*} Elegimos una variable de realizar el pedido. Escojamos $x < y$. (El sistema no se modifica por el cambio de las variables de $x$ e $y$, con lo que obtenemos el mismo cálculo, pero con las variables a intercambiar, si elegimos el otro pedido. Calculamos la primera $s$-polinomio. Necesitamos que el MCD de los principales términos $$ \gcd(x, x^2) = x^2 $$ y mediante esto conseguimos \begin{align*} 0 &= \frac{x^2}{x}(x+y-5) - \frac{x^2}{x^2}(x^2 + y^2 - 13) \\ &= x^2 + xy - 5x -(x^2 + y^2 - 13) \\ &= xy - y^2 -5x + 13 \text{.} \end{align*} Ahora $\gcd(xy, x) = xy$ y \begin{align*} 0 &= \frac{xy}{x}(x+y-5) - \frac{xy}{xy}(xy - y^2 -5x + 13) \\ &= xy + y^2 - 5y -(xy - y^2 -5x + 13) \\ &= 2y^2 +5x -5y -13 \end{align*} y ya tenemos una relación de $x$ e $y$ tanto de grado $1$, \begin{align*} 0 &= 2y^2 +5x - 5y - 13 -5(x+y-5) \\ &= 2y^2 +5x - 5y - 13 -5x -5y + 25 \\ &= 2y^2 -10y + 12 \\ &= 2(y^2 - 5y + 6) \text{,} \end{align*} y ya dos veces una cosa es cero significa que la cosa es cero, tenemos $$ y^2 - 5y + 6 = 0 \text{.} $$ Nuestra colección de expresiones que evaluar a cero es entonces (clasificación de la disminución total de grado, a continuación, según el orden que hemos escogido para las variables) \begin{align*} x^2 + y^2 - 13 &= 0 \\ xy - y^2 -5x + 13 &= 0 \\ y^2 - 5y + 6 &= 0 \\ x+y-5 &= 0 \text{.} \end{align*} Observe que en el grado $2$ que poco a poco disminuye el grado de dependencia de la $x$ hasta que nos quedamos con un polinomio en $y$ solo. La solución de ese polinomio, $y = 2$ o $y = 3$. A continuación, la colección se convierte (por la que se especializa el valor de $y$ y anexar un final ecuación para que el valor de $y$) cualquiera de \begin{align*} x^2 - 9 &= 0 \\ -3x + 9 &= 0 \\ 0 &= 0 \\ x-3 &= 0 \\ y -2 &= 0 \text{,} \end{align*} dar la solución $(x,y) = (3,2)$, o \begin{align*} x^2 - 4 &= 0 \\ -2x + 4 &= 0 \\ 0 &= 0 \\ x-2 &= 0 \\ y - 3 &= 0 \text{,} \end{align*} dar la solución $(x,y) = (2,3)$.