Si la derivada de una función es cuadrada, entonces es constante

Question

Deje $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es diferenciable y $f(0)=0$. También se $\forall x\in \mathbb{R}$ tenemos $f'(x)=f^2(x)$. Demostrar que $f(x)=0$, para cada $x$.

He intentado utilizar el MVT para ambos derivada e integral. Pero no conseguí nada.

Me acabo de enterar de que

$f$ es cada vez mayor.

para valores positivos $f$ es no negativo.

$\forall x>0$, existe alguna $c\in (0,x)$ s.t. $f(x)=xf^2(c).$

Intuitivamente, parece que se puede empezar por un pequeño intervalo de alrededor de cero y demostrar que $f=0$ y así sucesivamente.

Cualquier comentario!

Answer 1

Supongamos que para algunos $x_0$ ha $f(x_0)\neq0$. A continuación, puede resolver la ecuación diferencial $$\frac{f'(x)}{f^2(x)}=1$$ con la condición inicial $f(x_0)$, lo que da $$\frac{-1}{f(x)}+\frac{1}{f(x_0)}=x-x_0\iff f(x)=\frac{1}{c-x}$$ donde $c$ es una constante, y esto vale para todos los $x$ que está en el mismo componente de $\mathbb R\backslash\{c\}$ con $x_0$, decir $I=(-\infty,c)$. Esto va de la a $\infty$ como $x$ enfoques $c$, por lo que no puede ser la restricción de una función es diferenciable sobre $\mathbb R$ a $I$.

Answer 2

En el conjunto donde $f(x) \neq 0$ la derivada de $-1/f$ es $1 $ así obtenemos $f(x) (x+c)=-1$ para algunas constantes $c$. De ello se sigue que la función continua $f(x) (x+c)$ toma sólo dos valores de $0$ e$-1$. Por lo tanto es una constante. Pero $f(0)=0$ lo $f$ debe desaparecer de forma idéntica. [Llegamos $f(x)=0$ para $x \neq -c$ pero $f(-c)$ también $0$ por la continuidad].

Algunos detalles adicionales: El conjunto donde $f \neq 0$ es un conjunto abierto, por lo que es una contables distintos de la unión de intervalos abiertos. Si $(a,b)$ es uno de estos intervalos, entonces no sale de $c$ tal que $f(x)(x+c)=-1$ en $(a,b)$ e es $0$ en los puntos finales. Esto contradice la continuidad de $f$. Conclusión: no hay punto de $x$ con $f(x) \neq 0$.