Operadores de extensión y traza para espacios de Sobolev

Question

Dado que $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$ es un conjunto abierto, convexo y acotado de Lipschitz. Sea $O \subset \Omega$ un conjunto abierto acotado, entonces consideremos. $$u_{m} \rightharpoonup^{*} u \text{ en } W^{1,\infty}_{o}(O)$$ Supongamos que podemos encontrar $v_{m}$ tal que $$v_{m} \rightharpoonup^{*} u \text{ en } W^{1,\infty}(O)$$ $$v_{m} = u \text{ en } \partial O$$ Supongamos que aplicamos el operador lineal y continuo $$P: W^{1,\infty}(O) \rightarrow W^{1,\infty}(\Omega)$$ Luego extendemos $u$ de $O$ a $\Omega$ de tal manera que la extensión $\bar{u} \in W^{1,\infty}(\Omega)$ y de manera similar, dado que $v_{m} = u$ en $\partial O$ definimos ${\bar{v}}_{m} = v_{m}$ en $O$ y ${\bar{v}}_{m} = \bar{u}$ en $\Omega - O$.

Entonces tenemos $${\bar{v}}_{m} \rightharpoonup^{*} \bar{u} \text{ en } W^{1,\infty}_{o}(\Omega)$$

1. En el libro de Lawrence "Ecuaciones Diferenciales Parciales" el operador traza no está definido para $p = \infty$. Si el operador traza no está definido, ¿cómo describirías la forma en que se define '$v_{m} = u$ en $\partial O$'?

2. ¿Podemos afirmar inmediatamente que $v_{m} \in W^{1,\infty}_{o}(O)$ dado que $v_{m} = u$ en $\partial O$ y $u \in W^{1,\infty}_{o}(O)$?

3. ¿Obtenemos ${\bar{v}}_{m} \rightharpoonup^{*} \bar{u}$ en $W^{1,\infty}_{o}(\Omega)$ dado que tenemos que el operador de extensión $P_{2}: W^{1,\infty}_{o}(O) \rightarrow W^{1,\infty}_{o}(\Omega)$ es también un operador de extensión lineal continuo? Si esto es cierto, ¿cómo podrías demostrarlo?

Gracias por cualquier ayuda

Answer 1

No estoy seguro acerca de la pregunta 1. Sin embargo, es una pregunta interesante, ya que también noto que la traza no está definida para $p = \infty$ en dos libros de Evans (Ecuaciones en Derivadas Parciales y Teoría de la Medida y Propiedades Finas de Funciones) así como en el libro de Brezis (Análisis Funcional, Espacios de Sobolev y Ecuaciones en Derivadas Parciales).

Para la pregunta 2: Diría que sí. Pues si la traza está definida para $p = \infty$, entonces por definición se sigue que $u \in W^{1,p}_{o}(\Omega)$ si y solo si $Tu = o$ en $\partial \Omega$, donde $T$ es el operador de traza lineal acotado $T: W^{1,p}(\Omega) \rightarrow L^{p}(\partial \Omega).

Para la pregunta 3: No creo que sea necesario aplicar el teorema de extensión. Podrías simplemente extender ${\bar{v}}_{m}$ y $\bar{u}$ con ceros en $\Omega\setminus \bar{O}$. Si asumimos que $O$ también es Lipschitz, entonces notamos que la medida $n$-dimensional del borde de $O$ es cero. Por lo tanto, esto no afecta nuestras integrales de Lebesgue. Podemos mostrar que ${\bar{v}}_{m} \rightharpoonup^{*} \bar{u}\text{ } \text{ en } W^{1,\infty}_{o}(\Omega)$ de la siguiente manera:

Suponiendo que tenemos la siguiente extensión:

$$\begin{align} \bar{u} = \begin{cases} u~ \text{ en } O \\ 0~~ \text{ en } \Omega\setminus O \end{cases} \end{align} $$ y

$${\bar{v}}_{m} = \begin{cases} v_{m}~~ \text{ en } O \\ \bar{u}~ \text{ en } \Omega \setminus O. \end{cases} $$

Tomemos cualquier $\phi \in L^{1}(\Omega)$, esto nos da $$\lim\limits_{m \rightarrow \infty} \int_{\Omega}({\bar{v}}_{m} - \bar{u})\phi dx = \int_{O}(v_{m}-u)\phi dx + \int_{\Omega \setminus O}(u-0)\phi dx.$$

La primera integral converge a $0$ puesto que se asumió que $v_{m} \rightharpoonup^{*} u$ en $W^{1,\infty}(O)$. La segunda integral es $\int_{\Omega \setminus O} 0 dx = 0$. Esto da ${\bar{v}}_{m} \rightharpoonup^{*} \bar{u}$ en $L^{\infty}(\Omega)$. Del mismo modo, puedes mostrar que $\nabla {\bar{v}}_{m} \rightharpoonup^{*} \nabla \bar{u}$ en $L^{\infty}(\Omega; \mathbb{R}^{n})$. Conclusión ${\bar{v}}_{m} \rightharpoonup^{*} \bar{u}$. $\square$

Answer 2

Ampliando el comentario por usuario127096.

El espacio $W^{1,\infty}({\cal{O}})$ es igual al espacio de funciones localmente Lipschitz acotadas. Esto significa que para cada elemento $u\in W^{1,\infty}({\cal{O}})$ es posible encontrar una función $v$ que es Lipschitz continua simplemente reorganizando un conjunto de medida cero.

Luego, la traza se puede tomar de la misma forma que se toma la traza de funciones continuas mediante convergencia puntual.