¿Qué cursos de un departamento de matemáticas cubrirían cuaterniones?

Question

El tema de los cuaterniones es que a menudo se enseña en la ingeniería y cursos de física debido a sus aplicaciones en 3D rotaciones y la mecánica cuántica. Este tratamiento es a menudo superficial y sólo se presentan como una herramienta. Me gustaría aprender acerca de los cuaterniones en contexto dentro de las matemáticas. Me imagino que los cuaterniones son cubiertos en una especie de avanzada curso de álgebra.

Cómo y dónde se hace el sujeto de cuaterniones ajuste en la mayor de la historia de las matemáticas y de los cursos que sería probable que la cubierta de este material?

Answer 1

Le pregunte

Cómo y dónde se hace el sujeto de cuaterniones ajuste en la mayor historia de las matemáticas y de los cursos que sería probable que para cubrir este el material?

Para la primera parte de su pregunta, comienza en la entrada de la wikipedia sobre la historia de los cuaterniones y otros enlaces ofrecidos por los que buscar.

En respuesta a la segunda parte, es raro encontrar una gran cobertura en cualquier curso de matemáticas en estos días - sólo ocasional mencionar como ejemplos.

Su reaparición fue impulsado por su eficiencia en la codificación de tres dimensiones de rotaciones para el equipo de aplicaciones de gráficos, por lo que se tiene que buscar que la literatura, tal vez a partir de la wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternions_and_spatial_rotation .

Answer 2

Voy a escribir una respuesta corta, que te ayudarán con la parte de tu post, es decir, el vínculo entre los cuaterniones y rotaciones.

Deje $q$ denotar una unidad de cuaterniones. Identificar el imaginario cuaterniones con $\mathbb{R}^3$, y deje $x$ ser un imaginario de cuaterniones.

Uno puede definir una acción del grupo de la unidad de cuaterniones, que se denota por $Sp(1)$, en $\mathbb{R}^3$, a través de la fórmula

$$(q,x) \to qx\bar{q}$$

usando cuaterniones de multiplicación, donde $\bar{q}$ es el quaternionic conjugado de $q$. Para una fija $q$, el mapa de $f_q$ de $\mathbb{R}^3$ a definido a sí misma por

$$f_q(x) = qx\bar{q}$$

es una rotación en $\mathbb{R}^3$ con respecto a un eje que pasa por el origen. El grupo de todas las rotaciones en $\mathbb{R}^3$ es denotado por $SO(3)$. El mapa de $Sp(1)$ a $SO(3)$ asignación de $q$ a $f_q$ es $2$a-$1$ surjective grupo homomorphism con kernel $\pm 1$.

Cuaterniones puede hacer que algunas de las fórmulas más compacto. También hay una buena interacción entre quaternionic geometría y geometría compleja ejemplificado por twistor teoría. Muchos módulos de espacios en la física matemática natural quaternionic geometría en ellos.

Answer 3

Para una introducción en un contexto distinto de álgebra, hay un bonito (para algunos de nosotros!) la sección de Steenrod, el libro de los Haces de Fibras, pero tiene varias desventajas a menos que usted es (aproximadamente) en su primer año de las matemáticas del programa de posgrado: algo viejo estilo del lenguaje y la notación, un lugar denso estilo de escritura (cada frase tomar una media su propia página de notas para trabajar en los detalles), y un pecuiliar sentido de lo que los hace interesantes, - - - no veo nada acerca de la dinámica en la física, etc.

Aún así, me gusta mucho, y era de mi conocimiento de Steenrod que puse para usar cuando escribí sobre cuaterniones para el libro de Gráficos por Ordenador, los Principios y la Práctica, 3ª edición.

Por CIERTO, si usted puede encontrar una vuelta-de-siglo copia de Maxwell del Tratado sobre Electricidad y Magnetismo, se puede leer la más desconcertante verborrea imaginable sobre los cuaterniones, complica aún más por Maxwell uso de Fraktur fuentes. Cuando vea una frase que comienza por algo así como "El vector parte de un vector es distinta de su parte real,...", usted sabe que usted está adentro para un paseo lleno de baches. Por otro lado, la codificación de la (negativo) el potencial eléctrico como la parte real de una cuádrupla y el campo eléctrico como el "imaginario" de la parte, y de manera similar para el magnético cosas (aunque no hay mucho de magnetic "potencial" de todo, creo) hace cuatro ecuaciones de Maxwell ser sólo dos, que es un poco divertido, si eres un glotón para ese tipo de castigo.