¿Por qué mentir álgebras si lo que nos importa en física son los grupos?

Question

En física, queremos representaciones irreducibles del grupo de simetría de nuestro sistema. Sin embargo, uno ve con frecuencia en las representaciones de la correspondiente Mentira álgebra de ser estudiado en su lugar. Es que en los grupos específicos que aparecen en la física, por alguna razón hay un bijection entre irreps del grupo y irreps de su Mentira álgebra? Yo sé que uno puede obtener representaciones de la Mentira álgebra mediante la diferenciación de las representaciones de la Mentira de grupo, pero también sé que no todas las representaciones de la Mentira de álgebra puede ser obtenido de esta manera.

Una conjetura: es porque realmente no queremos representaciones, pero en lugar queremos proyectivas de las representaciones, y estos están en un bijective relación con las representaciones de la Mentira de álgebra (o algunos de extensión)?

Me parece que la literatura sobre esta bastante claro.

Answer 1

Los objetos de los que la materia en la física son Mentira grupos y álgebras de Lie. Álgebras de Lie sólo aproximada infinitesimal grupo de transformaciones y en la mecánica cuántica, de lo finito y de propiedades globales de las transformaciones de la materia.

Sin embargo, (teniendo en cuenta los sistemas cuánticos con un número finito de grados de libertad), los espacios de estados cuánticos son proyectivos, como no hay ningún significado físico a la red general de magnitudes y global de las fases de estado de los vectores. Por lo tanto, la simetría de los grupos de actuar en los espacios de los estados a través de las representaciones.

Para un semisimple compacto de Lie del grupo, una representación proyectiva es una verdadera representación de su (conecta) universal que cubre. Las representaciones de el universal que cubre los grupos en un $1-1$ correspondencia con las representaciones de su Mentira álgebra (que es la misma Mentira de álgebra como el grupo original) . Esta es la razón por la que todas las representaciones del grupo de la Mentira del álgebra puede aparecer como realizaciones de las simetrías en los sistemas cuánticos.

Puede ser el caso más famoso es el de la rotación de grupo $SO(3)$, que puede ser parametrizado por Los ángulos de Euler. La verdadera representación de los grupos de rotación son el número de integer representaciones. Sin embargo, hay sistemas cuánticos en el que la simetría de rotación se realiza por medio de la media entero spin representación (como el giro de un electrón o de un qubit). La mitad entero representaciones son sólo representaciones proyectivas de la rotación de grupo; sin embargo, son verdaderas representaciones de su universal que cubre $SU(2)$. Las representaciones de $SU(2)$ están en un $1-1$ correspondencia con las representaciones de la isomorfo álgebras de Lie de ambos grupos $\mathfrak{so}(3) \cong \mathfrak{su}(2)$.

Answer 2

1. Es un hecho general de que cualquier Mentira grupo de representación induce una correspondiente Mentira álgebra representación (pero no necesariamente al revés). Por lo tanto, a corto topológico de informaciones, a menudo podemos aprender mucho acerca de la física por el trato con la Mentira de álgebra (que en la práctica es un matemáticamente gadget más fácil de manejar, es decir, sólo un espacio vectorial).

2. Por supuesto, un completo tratamiento incluyen la investigación de si la Mentira álgebra representaciones pueden ser elevados a una constante (posible proyectiva$^1$) se encuentran el grupo de representaciones de la teoría. Este análisis es a menudo pasado por alto en los libros de texto de física.

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$^1$ Si las representaciones son permitidos depende del contexto.

Answer 3

Observables a menudo cerca de un álgebra de la Mentira, y sus elementos de la matriz están directamente relacionados con cantidades mensurables, v. g. valores promedio, los autovalores (espectro), las tasas de transición para nombrar unos pocos.

Además, hay algunas que son muy útiles para álgebras de que no hay ningún grupo, v. g. la Temperley-Lieb con álgebra, $q$-deformaciones, etc.

Finalmente, las ecuaciones de la física tienden a ser expresados en forma diferenciada, la comparación de las funciones que son infinitesimalmente cerca. Por lo tanto no es ninguna sorpresa que los generadores infinitesimales, es decir, los elementos del álgebra, tienden a ser más útil que el grupo de elementos, que requieren (a veces muy compleja) exponenciación.

Answer 4

No es cierto que nosotros sólo nos preocupamos de los grupos. En cambio, para la mayoría de las álgebras de Lie son en realidad más importante.

Para citar Ed Witten en su reseña sobre "la Física y la Geometría"

Experimento nos dice más directamente sobre el álgebra de Lie G de acerca de G a sí mismo. Cuando digo que G contiene un subgrupo SU(3) X SU(2) x U(1), realmente me refiero sólo a que el álgebra de Lie de G que contiene de $SU(3) \times SU(2) \times U(1)$; no hay ninguna afirmación acerca de la forma global de $G$. Por la misma razón, en comentarios posteriores no voy a ser muy preciso en distinguir los diferentes grupos que tienen la misma Mentira de álgebra.

O para citar a Sidney Coleman

En la alta energía de la teoría. que tienden a centrarse en el álgebra de Lie de un grupo y de ignorar su estructura global;

Por otra parte, la siguiente cita de un artículo reciente de David Tong pueden ser útiles

Aprendemos en el kinder que debemos tomar $$ \tilde{G} = U(1)\times SU(2) \times SU(3) $$ Pero esto no es del todo exacta. Experimental consideraciones solo nos indican que el grupo gauge es $$ G = {\tilde{G}}/{\Gamma} $$ donde $\Gamma$ es un grupo discreto. En la actualidad, sólo podemos decir que el grupo gauge implica un cociente por $\Gamma$, que es un subgrupo de ${\bf Z}_6$, es decir, $$ \Gamma = {\bf Z}_6,\ {\bf Z}_3,\ {\bf Z}_2\ {\rm or}\ {\bf 1} $$ Cada una de estas posibilidades define diferentes de la teoría y, en última instancia, da lugar a diferentes física. Las preguntas obvias son: que describe nuestro mundo? Y ¿cómo podemos saber? [...] Las funciones de correlación de los operadores locales en ${\bf R}^{1,3}$ solo depende de la Mentira de álgebra en el indicador de grupo y no se ven afectados por los problemas globales tales como la elección de $\Gamma$. Esto significa que ningún experimento puede distinguir entre las cuatro posibilidades. Sin embargo, la física en el espacio plano, puede depender en maneras sutiles en $\Gamma$ (y en maneras más dramáticas cuando el espacio-tiempo tiene una interesante topología). El propósito de este trabajo es describir la más cruda de las diferencias entre las teorías: el espectro de los operadores de línea y las periodicidades de la teta de los ángulos.