¿Cuáles son las clases de isomorfismo de $\pi_1(\mathbb{R}^2\setminus C)$ donde $C$ abarca todos los subconjuntos contables de $\mathbb{R}^2$ ?

Question

Hace poco me planteé este problema y he avanzado muy poco. Conjeturo que $\pi_1(\mathbb{R}^2\setminus \mathbb{Q}^2)$ es el mayor grupo posible de este tipo, en el sentido de que cualquier otro grupo de esta forma es isomorfo a un subgrupo de él, pero no tengo ni idea de cómo justificar esto. ¿Es posible clasificar estos grupos? ¿Estos grupos tienen que ser siempre libres?

Answer 1

Recordemos que un continuo de Peano es un espacio topológico metrizable compacto y localmente conectado. Equivalentemente, es la imagen de un mapa continuo de $[0,1]$ a un espacio metrizable. Para un subconjunto $X\subset S^2$ Denotaré el complemento $S^2-X$ como $X^c$ .

Considere $A$ , un continuo de Peano en $S^2$ . Dotaré $U_i$ , $i\in I$ los componentes de $A^c$ . Desde $A$ está conectado, cada $U_i$ está simplemente conectada. En particular, es conforme al disco unitario $\Delta$ . Se sabe que el mapa de Riemann $f_i: \Delta\to U_i$ se extiende a un mapa continuo
$$F_i: cl(\Delta)\to cl(U_i)$$ (esto es el teorema de extensión de Caratheodory-Torhorst, ver mi respuesta aquí ). Por lo tanto, dado un punto $b_i\in U_i$ y $f_i$ enviando $0\in \Delta$ a $b_i$ definimos $r_i: U_i-\{b_i\}\to \partial U_i$ componiendo $$F_i\circ R_i \circ f_i^{-1}$$ donde $R_i: \Delta- \{0\}\to S^1=\partial \Delta$ es la proyección radial. Se comprueba que el mapa $r_i$ se extiende continuamente (por la identidad) a $\partial U_i$ .

Propuesta 1. Establecer $B=\{b_i: i\in I\}$ . Entonces existe una retracción $r: B^c\to A$ .

Prueba. Combinar las retractaciones $r_i: cl(U_i)- \{b_i\}\to \partial U_i$ definida anteriormente. Extiéndase al resto de $A$ por el mapa de identidad. (Utilice la conectividad local de $A$ para comprobar que el mapa resultante es continuo a lo largo de $A$ .) $\square$

Observación. Si sólo quiere entender ejemplos como cuando $A$ es el Pendiente Hawaiano, puedes construir una retracción $r$ directamente sin necesidad de ningún teorema de extensión profundo.

Corolario 1. El mapa de inclusión $A\to B^c$ induce un monomorfismo $\pi_1(A)\to \pi_1(B^c)$ .

Corolario 2. Para cada subconjunto $C\subset A^c$ que tiene una intersección no vacía con cada $U_i$ el mapa de inclusión $A\to C^c$ induce un monomorfismo $\pi_1(A)\to \pi_1(C^c)$ .

Prueba. Para cada $U_i$ elige un punto $b_i\in C\cap U_i$ . Establecer $B=\{b_i: i\in I\}$ . El homomorfismo $\pi_1(A)\to \pi_1(B^c)$ factores como $$\pi_1(A)\to \pi_1(C^c) \to \pi_1(B^c).$$ Ahora, la afirmación se desprende del Corolario 1. $\square$

Corolario 3. Supongamos que $C$ es un subconjunto denso de $S^2$ y $A\subset C^c$ es un continuo de Peano. Entonces el mapa de inclusión $A\to C^c$ induce un monomorfismo $\pi_1(A)\to \pi_1(C^c)$ .

Prueba. Obsérvese que, por densidad, $C$ tiene una intersección no vacía con cada componente de $A^c$ . Ahora, la afirmación se desprende del Corolario 2. $\square$

Recordemos que para dos subconjuntos densos contables cualesquiera $X, Y\subset E^n$ existe un homeomorfismo (en realidad, incluso se puede encontrar un difeomorfismo) de pares $(E^n,X)\to (E^n,Y)$ . (Este es el teorema de Brouwer, ver mi respuesta aquí .) En particular, para $n=2$ tenemos $\pi_1(E^2-X)\cong \pi_1(E^2-Y)$ .

En particular, para todo subconjunto denso contable $X\subset E^2$ tenemos $\pi_1(E^2-X)\cong \pi_1({\mathbb R}^2 - {\mathbb Q}^2)$ .

Corolario 4. $\pi_1({\mathbb R}^2 - {\mathbb Q}^2)$ no es gratis.

Prueba. Empieza con los pendientes hawaianos $A=E\subset E^2$ . Tomemos un subconjunto denso contable $C\subset A^c$ que contiene el punto $\infty$ . Ahora, aplique el Corolario 3 y obtenga un monomorfismo $\pi_1(E)\to \pi_1(E^2 - C)$ . $\square$

Es más, por el mismo argumento obtenemos:

Propuesta 2. $\pi_1({\mathbb R}^2 - {\mathbb Q}^2)$ contiene una copia isomorfa del grupo fundamental de cada ninguna parte densa Continuo de Peano $A\subset E^2$ .

Observación. Con más trabajo se puede eliminar el ninguna parte densa supuesto.

Ahora, para un subconjunto contable arbitrario $Y\subset E^2$ su complemento $E^2-Y$ puede representarse como la unión de todos los continuos de Peano $A_\alpha, \alpha\in J$ , en $E^2-Y$ formando un sistema directo. Por lo tanto,
$$\pi_1(E^2-Y)\cong \lim_{\alpha\in J} \pi_1(A_\alpha)$$ (el límite directo). Como se ha señalado anteriormente, cada grupo $\pi_1(A_\alpha)$ se incrusta en $\pi_1({\mathbb R}^2 - {\mathbb Q}^2)$ . Quizás a partir de esto se pueda construir un monomorfismo $$\pi_1(E^2-Y) \to \pi_1({\mathbb R}^2 - {\mathbb Q}^2).$$ De momento no veo cómo hacerlo. (Pero tal vez me estoy perdiendo algo simple).

En cualquier caso, por lo que a mí respecta, los invariantes algebro-topológicos clásicos, como los grupos de homotopía y la homología singular, se diseñaron para espacios topológicos "bonitos". Para espacios como los complementos de subconjuntos contables arbitrarios de $E^2$ hay que utilizar otras invariantes. En particular, la cuestión de la "clasificación" de sus grupos fundamentales es desesperante. Me recuerda a la broma que la clasificación de los problemas matemáticos como lineales y no lineales es como la clasificación del Universo como plátanos y no plátanos.