¿Se puede convertir un "cierre algebraico" en un functor?

Question

Ahora estoy confundido con ese problema como el título va. Para ser exactos, el problema es

¿Existe un functor de $A:\mathsf{Field}\to \mathsf{Field}$ natural a una transformación de la identidad functor $\iota: \operatorname{id}\to A$ tal que para cada una de las $F$, $A(F)$ es la forma algebraica de cierre de $F$ través $\iota_F:F\to A(F)$?

No es fácil, en lugar de un primer vistazo. Me explico.

Tenga en cuenta que, la existencia de algebraica de cierre sólo se asegura de que exista un mapa de $\operatorname{Obj}(\mathsf{Field})$ a sí mismo. Desde la "extensión" de la propiedad no es el único, no es cierto en general que podemos ampliar el mapa para $\operatorname{Mor}(\mathsf{Field})$ para la elección arbitraria de clausura algebraica.

1. Por ejemplo, considere los campos $$\begin{array}{ccc} \mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}, \sqrt{2}] &\to & \mathbb{Q}[\omega\sqrt[3]{2}, \sqrt{2}]\\ \uparrow &&\uparrow \\ \mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}] & \to & \mathbb{Q}[\omega\sqrt[3]{2}] \end{array}$$ Si elegimos la forma algebraica de cierre de $\left[\begin{matrix}\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}, \sqrt{2}] & \mathbb{Q}[\omega\sqrt[3]{2}, \sqrt{2}]\\ & \mathbb{Q}[\omega\sqrt[3]{2}]\end{matrix}\right]$ por la inclusión a $\overline{\mathbb{Q}}$, y el cierre de $\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}]\to \overline{\mathbb{Q}}$ por $\sqrt[3]{2}\mapsto \omega\sqrt[3]{2}$. No podemos extender una bien definida functor. Problema Similar existe para trascendental de extensión, por ejemplo, la plaza como esta $$\begin{array}{ccc} \mathbb{C}[X,Y] &\to & \mathbb{C}[X^2,Y]\\ \uparrow &&\uparrow \\ \mathbb{C}[X] & \to & \mathbb{C}[X^2] \end{array}$$ Un método razonable es evitar el fenómeno anterior es como sigue. Fijar una algebraicamente cerrado campo de $F$, y tomar todas sus subcampos como "esqueleto", a continuación, fije un isomorfismo a un subcampos de $F$ de todos los campos algebraicas cuyo cierre es $F$ hasta un isomorfismo. La isomorfo clase de algebraicamente cierre son completamente dependen por sus características y la dimensión trascendental sobre el primer campo de $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{F}_p$.

2. Ahora el problema es cómo se escogió extensiones para endmorphisms. Pero, por desgracia, la elección es frágil. Por ejemplo, considere el siguiente diagrama $$\begin{array}{ccccl} \mathbb{Q}[\sqrt{3}, \sqrt{2}] &\to & \mathbb{Q}[\sqrt{3}, \sqrt{2}] &: &\sqrt{3}\mapsto -\sqrt{3},\sqrt{2}\mapsto \pm \sqrt{2}\\ \uparrow &&\uparrow \\ \mathbb{Q}[\sqrt{3}] & \to & \mathbb{Q}[\sqrt{3}] &:&\sqrt{3}\mapsto -\sqrt{3} \end{array}$$ No hay ninguna opción adecuada tal que $$\begin{array}{ccccl} \overline{\mathbb{Q}} &\to & \overline{\mathbb{Q}} &: &\sqrt{3}\mapsto -\sqrt{3},\sqrt{2}\mapsto \pm \sqrt{2}\\ \parallel &&\parallel \\ \overline{\mathbb{Q}}& \to & \overline{\mathbb{Q}} &:&\sqrt{3}\mapsto -\sqrt{3} \end{array}$$ desplazamientos por tanto $\pm=+$ e $\pm=-$.

Answer 1

No, esto no es posible. Por ejemplo, supongamos $K$ ser cualquier campo con un automorphism $f:K\to K$ cuyo fin es finito y mayor que $2$. A continuación, $A(f):A(K)\to A(K)$ sería un automorphism de la misma orden para extender $f$. Pero no hay tal automorphism existe: por el Artin-Schreier teorema, cualquier finito de orden automorphism de un algebraicamente cerrado de campo ha pedido en la mayoría de los $2$.

O sin el uso de cualquier gran teoremas, puede encontrar problemas simplemente mirando finito extensiones. Por ejemplo, si $f$ es el Frobenius automorphism de $\mathbb{F}_{p^2}$ entonces $F(f)$ es una extensión algebraica de cierre que todavía tiene orden de $2$. Desde $\mathbb{F}_{p^4}$ es lo normal en el $\mathbb{F}_{p}$, $F(f)$ restringe a un automorphism de $\mathbb{F}_{p^4}$, que debe ser el Frobenius cuadrado con el fin de tener un orden $2$. Pero el Frobenius cuadrado no restringir a $f$ a $\mathbb{F}_{p^2}$, por lo que es una contradicción.