La diferenciación de $ G(x)= \int_ { \mathbb R} e^{tx}f(t)dt $ en $ (0,1) $

Question

Deje que $f \colon\mathbb R \to\mathbb R$ ser una función no negativa y medible, y asumir que ambos $$ \int_ { \mathbb R} f(t)dt< \infty\ \ \text {and}\ \ \int_ { \mathbb R}e^tf(t)< \infty. $$

Mostrar que la integral $G(x)= \int_ { \mathbb R} e^{tx}f(t)dt$ es finito cuando $0 \le x \le 1$ . Entonces demuestre que la función $G(x)$ es continua en $0 \le x \le 1$ y diferenciable en $0<x<1$ .

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Mi intento:

Es trivial mostrar que $G(x)< \infty $ cuando $0 \le x \le 1$ . Para mostrar que $G(x)$ es continua en $0 \le x \le 1$ tenemos que considerar la diferencia: \begin {alinear} G(x_2)-G(x_1)&= \int_ { \mathbb R}e^{tx_2}f(t)dt- \int_ { \mathbb R}e^{tx_1}f(t)dt \\ &= \int_ { \mathbb R}(e^{tx_2}-e^{tx_1})f(t)dt \end {alinear} donde $x_1,x_2 \in [0,1]$ .

Tengan en cuenta que $$ |(e^{tx_2}-e^{tx_1})f(t)| \le\max\ {2f(t), 2e^tf(t),f(t)+e^tf(t)\} \in L^1( \mathbb R), $$ se deduce que $$ \lim_ {x_2 \to x_1} [G(x_2)-G(x_1)]= \int_ { \mathbb R}0 \cdot f(t)dt=0 $$ es decir.., $G(x)$ es continua en $0 \le x \le 1$ .

A continuación, estudiamos la diferenciación de $G(x)$ en $(0,1)$ .

Tenemos \begin {alinear} \frac {G(x_2)-G(x_1)}{x_2-x_1}= \int_ { \mathbb R} \frac {e^{tx_2}-e^{tx_1}}{x_2-x_1}f(t)dt \end {alinear} y $$ \frac {e^{tx_2}-e^{tx_1}}{x_2-x_1}f(t)= \frac {e^{tx_2}-e^{tx_1}}{tx_2-tx_1}tf(t) .$$ Si dejamos que $x_2 \to x_1$ Entonces $$ \lim_ {x_2 \to x_1} \frac {e^{tx_2}-e^{tx_1}}{x_2-x_1}f(t)=e^{tx_1}tf(t).$$ Pero esta vez, no puedo encontrar una función integrable dominante $g(t)$ de tal manera que $|e^{tx_1}tf(t)|<g(t)$ en $ \mathbb R$ . Entonces, ¿cómo probar la diferenciación de $G(x)$ en $(0,1)$ ?

Answer 1

Intenta usar el teorema de convergencia dominado por Lebesgue en lugar de la regla de Leibniz directamente.

Aquí $x_1$ está fijado en $(0,1)$ y su función delimitadora" $g(t)$ " puede en realidad depender de $x_1$ (esto es diferente a la declaración de la regla de Leibniz).

Usemos $x, x+h$ en lugar de $x_1, x_2$ lo que estás tratando de mostrar es para un fijo $x \in (0,1)$ Tenemos $$ \lim_ {h \rightarrow 0} \int \frac {e^{(x+h)t} - e^{xt}}{h} f(t) dt = \int \lim_ {h \rightarrow 0} \frac {e^{(x+h)t} - e^{xt}}{h} f(t) dt.$$ Así que tenemos que encontrar una función delimitadora para $ \frac {e^{(x+h)t} - e^{xt}}{h} f(t)$ que es independiente de $h$ para todos $h$ pequeño.

Para $t>0$ y $h>0$ , por el teorema del valor medio, $$ \frac {e^{(x+h)t} - e^{xt}}{h} = te^{ct}$$ para algunos $c \in (x, x+h)$ . De la monotonicidad de la función exponencial $$te^{ct} \leq te^{(x+h)t} \leq te^{(x+h_0)t}$$ donde $h_0$ es un pequeño número positivo fijo tal que $x+h_0 < 1$ .

Para $t>0, h<0$ Tenemos $$ \frac {e^{(x+h)t} - e^{xt}}{h} \leq te^{xt} \leq te^{(x+h_0)t}.$$ Así que nuestra función de delimitación en $t>0$ sería $$te^{(x+h_0)t}f(t) = (e^{t}f(t)) \frac {t}{e^{(1-(x+h_0))t}} \in L^1$$ que funciona para todos $|h| \leq h_0$ .

Para $t<0$ podemos aplicar el mismo argumento, para obtener una función delimitadora.