¿Es demasiado estricto el argumento de Landau&Lifshitz sobre las simetrías clásicas de Lagrange?

Question

Me doy cuenta de que este párrafo ha planteado más preguntas sobre el intercambio de estacas, pero quería hacer esta pregunta de todas formas ya que quiero discutirlo en términos de un contra-ejemplo.

Ya he completado un curso de mecánica clásica siguiendo la primera parte de Goldstein (es decir, mecánica elemental de Lagrange y Hamilton), pero quería ver cómo Landau y Lifshitz abordan el tema. Hasta ahora, sólo han postulado el principio de menor acción, la existencia de alguna función "Lagragiana" $L(q, \dot {q},t)$ y la existencia de marcos inerciales que son a la vez homogéneos e isotrópicos. En términos de pruebas, se ha demostrado lo siguiente:

• La forma familiar de las ecuaciones de Euler-Lagrange

• El hecho de que los Lagrangianos no son únicos; más bien, añadiendo el derivado de tiempo de una función de coordenadas generalizadas y tiempo ( $ \frac {d}{dt}f(q,t)$ ) al Lagrangiano no cambia el movimiento.

En este punto, los autores con los que estoy familiarizado tienden a postular la forma del Lagrangiano $L = T - V$ Sin embargo, L&L intenta primero derivar la forma de la partícula libre Lagrangiana de estos principios.

El argumento es que debido a la homogeneidad e isotropía del espacio y el tiempo, el Lagrangiano no debe depender de la posición y la dirección de la velocidad de la partícula. A partir de aquí, derivan la conocida $L = \frac {1}{2}mv^2$ . Continúan utilizando la condición de que el Lagrangiano es homogéneo e isotrópico w.r.t. espacio y tiempo a lo largo del capítulo 2 para derivar todo tipo de ideas interesantes.

Pero, ¿por qué la homogeneidad e isotropía del espacio y el tiempo implican un Lanrangiano homogéneo e isotrópico? Por lo que sé, la estructura del espacio y el tiempo sólo implica que el ecuaciones de movimiento son homogéneos e isotrópicos:

$$ \frac {d}{dt} \frac { \partial L}{ \partial \dot {q_j}} - \frac { \partial L}{ \partial q_j} = 0$$

Pero exigir isotropía y homogeneidad aquí implica muy poco sobre la estructura del Lagrangiano. De hecho, hay muchas partículas libres de Lagrange explícitamente no isotrópico, como $$L = \frac {1}{2}mv^2 + 4x^3v_x.$$ No digo que sea un Lagrangiano particularmente útil, pero existe :-)

Así que mi pregunta es: ¿por qué L&L pone tanto énfasis en obtener un Lagrangiano que sea homogéneo e isotrópico? ¿Hay tal vez una manera de demostrar que existe algunos Lagrangiano (no único) que es homogéneo e isotrópico? ¿Tal vez por la condición de que las ecuaciones de movimiento son homogéneas e isotrópicas? Podría argumentar por mí mismo que un Lagrangiano de HeI es útil a partir de ahí, creo.

Pregunta extra: Siempre pensé que los Lagrangianos eran postulado no derivado? La exposición de L&L no es una derivación completa (lanzan la energía potencial ad hoc ) pero aún así me hace preguntarme si no sería más limpio simplemente postular $$L = T - V + \frac {d}{dt}f(q,t)$$ "porque funciona" y seguir desde ahí.

Answer 1

Tienes razón, un Lagrangiano válido para una partícula libre no tiene por qué ser independiente de la posición o la rotación. L&L lo dan a entender ellos mismos cuando muestran $df(q,t)/dt$ puede añadirse sin consecuencias y tu ejemplo da una demostración concreta de ello.

La argumentación de L&L cuando buscan la Lagrangiana para una partícula libre es más un método heurístico que un argumento sólido. Creo que lo que hacen es basarse en la simetría de la situación, descartan funciones que no debería ser necesario incluir en el Lagrangiano y encuentran que $v^2$ es la función más sencilla que no se puede descartar con un argumento tan simple.